MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 83

a) Wspólny nawias to $4k^2-3a+5$: $24ak^3-18a^2k+30ak=6ak(4k^2-3a+5),$ $12a^2k^2-9a^3+15a^2=3a^2(4k^2-3a+5).$

b) Wspólny nawias to $5x^2+6x-1$: $10x^4+12x^3-2x^2=2x^2(5x^2+6x-1),$ $-15x^4-18x^3+3x^2=-3x^2(5x^2+6x-1).$

Wspólny nawias wybieramy jako $3a^3c-c+2a$. Wtedy: $-6a^3c^2+2c^2-4ac=-2c(3a^3c-c+2a),$ $12a^4c^2-4ac^2+8a^2c=4ac(3a^3c-c+2a),$ $18a^4c^3-6ac^3+12a^2c^2=6ac^2(3a^3c-c+2a).$

Usuwamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne:

$=5x^3-32x^2-14+35x^3-28x^2+70x+14$ $=40x^3-60x^2+70x=10x(4x^2-6x+7).$

Grupujemy składniki tak, aby wykorzystać obie podane wartości:

$=\frac14(8a+12c)+\frac12(8b+18d).$ Po podstawieniu: $\frac14\cdot(-0{,}4)+\frac12\cdot3{,}2=-0{,}1+1{,}6=1{,}5.$

Dobieramy jednomiany przez porównanie współczynników po wymnożeniu.

a) Dla $X=3a^2b$ lewa strona wynosi $6a^2b-15a^3b^5$, więc $Y=6a^2b$.

b) Aby pierwszy składnik był równy $8a^2b^5$, przyjmujemy $X=4b^2$. Drugi składnik daje wtedy $Y=6a^6b^3$.

c) Dla $Y=\frac43a$ prawa strona wynosi $4ab^4-4a^3$, więc $X=4ab^4$.

Ze skanu wynika, że podstawami $T_1,T_3$ są odcinki na prostej $b$, a podstawami $T_2,T_4$ odcinki na prostej $a$. Wszystkie trójkąty mają wysokość $h$. Zatem

Obie sumy są więc równe.

a) $a(a^4+a^3+a^2+a+1)$.

b) $a(1+b+bc+bcd)$.

c) $2pq(5p^2-6q^2-7pq+40)$.

d) $18abc(1-2abc+3a^2b^2c)$.

Najpierw rozwijamy nawiasy, następnie redukujemy i wyłączamy czynnik.

a)