MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 80

Pierwszą nierówność sprowadzamy do prostej postaci:

$9+6x>12x-4,\qquad x<\frac{13}{6}.$

Dla drugiej nierówności otrzymujemy

Ponieważ $\frac{13}{6}<\frac{26}{7}$, każdy element pierwszego zbioru rozwiązań należy również do drugiego.

Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę $3$: $3\sqrt3-n>0,\qquad n<3\sqrt3.$ Ponieważ $5<3\sqrt3<6$, spośród liczb naturalnych nierówność spełniają tylko liczby nie większe od $5$. Niespełniające zaczynają się od $6$.

Z założenia $a<b$. Dodając do obu stron $a$, dostajemy $2a<a+b,$ a po podzieleniu przez $2>0$: $a<\frac{a+b}{2}.$ Analogicznie dodanie $b$ do nierówności $a<b$ daje $a+b<2b,$ czyli $\frac{a+b}{2}<b$. Obie nierówności razem dowodzą tezy.

Oba pierwiastki istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy oba podpierwiastkowe wyrażenia są nieujemne.

a) $x\geq0$ i $-x\geq0$, więc $x=0$.

b) $x-7\geq0$ i $7-x\geq0$, więc $x=7$.

c) $x-2\geq0$ i $1-x\geq0$ wymagałoby jednocześnie $x\geq2$ oraz $x\leq1$, co jest niemożliwe.

a) Z $b=4-a$ i $a<8$ wynika $b>4-8=-4$. Ponieważ $a$ nie ma dolnego ograniczenia, $b$ nie ma górnego ograniczenia.

b) Z $a+b<6$ mamy $b<6-a$. Warunek $a>2$ daje więc $b<4$. Każda liczba mniejsza od $4$ jest możliwa po odpowiednim wyborze $a>2$.

Pierwsza nierówność daje $x>-\frac72$, więc dla całkowitego $x$ mamy $x\geq-3$. Druga jest równoważna $x<\frac a3$.

Aby otrzymać dokładnie trzy liczby całkowite $-3,-2,-1$, liczba $-1$ musi spełniać $-1<\frac a3$, natomiast $0$ nie może jej spełniać: $-1<\frac a3\leq0.$ Po pomnożeniu przez $3$ otrzymujemy $-3<a\leq0$.

W roztworze jest $0{,}05\cdot500=25$ g soli. Po dolaniu $w\geq0$ gramów wody masa roztworu wynosi $500+w$, a ilość soli się nie zmienia. Warunek stężenia ma postać $\frac{25}{500+w}\geq0{,}04.$ Ponieważ mianownik jest dodatni, $25\geq20+0{,}04w,\qquad w\leq125.$

Trzeci kąt ma miarę $180^\circ-\alpha-(\alpha+50^\circ)=130^\circ-2\alpha.$ W trójkącie ostrokątnym każdy z trzech kątów jest dodatni i mniejszy od $90^\circ$. Najostrzejsze ograniczenia dają

Najdłuższy bok dla małych $n$ ma długość $6n+24$. Warunek trójkąta wymaga $4n+7n>6n+24,$ $5n>24,\qquad n>4{,}8.$ Pozostałe dwie nierówności trójkąta są prawdziwe dla każdego dodatniego $n$. Najmniejszą naturalną dodatnią liczbą większą od $4{,}8$ jest $5$.

Z nierówności trójkąta dla dwóch krótszych boków otrzymujemy $(x-2)+2x>x+5,$ czyli $2x>7$ i $x>\frac72$. Obwód jest równy $P=(x-2)+(x+5)+2x=4x+3.$ Z $x>\frac72$ wynika $P>4\cdot\frac72+3=17,$ co dowodzi tezy.

Niech $P$ będzie punktem wewnętrznym trójkąta $ABC$. Z nierówności trójkąta zastosowanej do trzech mniejszych trójkątów mamy $PA+PB>AB,\qquad PB+PC>BC,\qquad PC+PA>CA.$ Po dodaniu stron: $2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA.$ Dzielenie przez $2$ dowodzi, że suma odległości punktu $P$ od wierzchołków jest większa od połowy obwodu.

Oznaczmy liczby cukierków przez $M,P,T,C$ odpowiednio dla smaków: malinowego, porzeczkowego, truskawkowego i cytrynowego. Dane mówią, że $M>P,\qquad T+P>M+C,\qquad C+T=M+P.$ Z ostatniej równości $T=M+P-C$. Po podstawieniu do nierówności: $M+2P-C>M+C,$ więc $P>C$. Wtedy $T=M+(P-C)>M$. Łącząc to z $M>P$, dostajemy pełny porządek.