MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 79

Pierwsza nierówność daje $4x-1<2x+21,\qquad x<11.$ Druga po pomnożeniu przez $20$ daje $8-12x<40+5x,\qquad x>-\frac{32}{17}.$ Wspólny zbiór to $(-\frac{32}{17};11)$. Spośród podanych liczb należą do niego $-1$ oraz $6$.

a) Pierwsza nierówność daje $x>-\frac{13}{8}$, a druga $x\leq7$. Całkowite liczby w $(-\frac{13}{8};7\rangle$ to $-1,0,1,2,3,4,5,6,7$.

b) Pierwsza daje $x>-\frac{17}{10}$, a druga $x\leq9$. Całkowite liczby to $-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Tłumaczymy przynależność do przedziału na nierówności.

a) $2x+1>3$, więc $x>1$. b) $1-2x\geq-1$, więc $x\leq1$. c) $-5<3x-2<4$, więc $-1<x<2$. d) $-5\leq3x+4\leq1$, więc $-3\leq x\leq-1$. e) $-1<2-x\leq4$, więc $-2\leq x<3$. f) $-3\leq1-2x<5$, więc $-2<x\leq2$.

Każdą nierówność podwójną rozbijamy na dwie i przecinamy wyniki.

a) $x\leq3$ oraz $x>1$, więc $x\in(1;3\rangle$. b) $x\geq1$ i $x\leq1$, więc $x=1$. c) $x\geq-1$ i $x\geq1$, więc $x\in\langle1;\infty)$. d) Pierwsza część daje $x>2$, a druga $x<0$, więc brak rozwiązań. e) Otrzymujemy $x\geq-\frac54$ i $x<0$. f) Otrzymujemy $x>-\frac35$ i $x<0$.

Rozwiązujemy nierówności w każdym układzie i przecinamy zbiory.

a) Warunki to $x\leq\frac13$ oraz $x<4-\sqrt2$. Silniejszy jest pierwszy, więc $x\leq\frac13$.

b) Pierwsza nierówność daje $x>3$, a druga $x<\frac{10-\sqrt3}{3}<3$, więc brak rozwiązań.

c) Pierwsza daje $x\leq\frac83$, a druga $x>\frac{10}{7}$.

Nierówność bazowa $2x-5<0$ ma zbiór rozwiązań $(-\infty;2{,}5)$.

a) Dopisujemy warunek szerszy, na przykład $x<3$; przecięcie pozostaje bez zmian.

b) Dopisujemy warunek rozłączny, na przykład $x\geq2{,}5$; przecięcie jest puste.

c) Dopisujemy $x>-3$; przecięcie wynosi $(-3;2{,}5)$.

Dla $n$ godzin parking A kosztuje $5+3(n-1)=3n+2,$ a parking B $3{,}90+3{,}20(n-1)=3{,}2n+0{,}7.$ Warunek, że parking B byłby droższy, daje $3{,}2n+0{,}7>3n+2,$ czyli $0{,}2n>1{,}3$ i $n>6{,}5$. Najmniejszą naturalną liczbą godzin jest $7$.

Niech największa z trzech kolejnych liczb nieparzystych będzie równa $m$. Pozostałe to $m-2$ i $m-4$. Warunek $m+(m-2)+(m-4)<1000$ daje $3m-6<1000$, czyli $m<\frac{1006}{3}=335\frac13.$ Największą nieparzystą liczbą naturalną spełniającą warunek jest $335$.

Dodatniość boków daje $x<8$ oraz $x>\frac12$. Ponadto $BC>AB$, więc $4x-2>8-x,$ skąd $x>2$. Łącznie $2<x<8$.

Obwód prostokąta wynosi $P=2[(8-x)+(4x-2)]=12+6x.$ Z $x>2$ wynika $P>24$, a z $x<8$ wynika $P<60$.