MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 78

Po rozwinięciu nawiasów i redukcji:

I. $32-20x\leq30-10x$, czyli $x\geq0{,}2$; nie jest to ani $\mathbb R$, ani zbiór pusty.

II. Otrzymujemy prawdziwe zdanie $10>7$, więc zbiorem rozwiązań jest $\mathbb R$.

III. Otrzymujemy $4\leq21$, więc zbiorem rozwiązań jest $\mathbb R$.

IV. Otrzymujemy fałsz $36<1$, więc zbiór rozwiązań jest pusty.

V. Otrzymujemy $-12\leq6$, więc zbiorem rozwiązań jest $\mathbb R$.

VI. Otrzymujemy fałsz $19x-6<19x-6$, więc zbiór rozwiązań jest pusty.

a) Po pomnożeniu przez $8$: $2(x-7)+24x\geq4x-31+400,$ czyli $22x\geq383$ i $x\geq\frac{383}{22}\approx17{,}41$. Najmniejszą liczbą dwucyfrową jest $18$.

b) Po pomnożeniu przez $6$: $2(x-8)+12x\geq5x+31,$ czyli $9x\geq47$. Każda dodatnia liczba dwucyfrowa spełnia ten warunek, więc najmniejszą jest $10$.

Równanie po pomnożeniu przez $3$ ma postać $8-2x=36x+21,$ więc $x=-\frac{13}{38}$.

Nierówność upraszcza się do $50-32x<0,$ czyli $x>\frac{25}{16}$. Liczba $-\frac{13}{38}$ tego warunku nie spełnia.

Pierwsza nierówność po pomnożeniu przez $6$ daje $3(x-3)+2(x+2)>30,$ czyli $5x-5>30$ i $x>7$.

Druga daje $3(x+3)+2(x-2)>30,$ czyli $5x+5>30$ i $x>5$. Ponieważ $(7;\infty)\subset(5;\infty)$, żądane zawieranie zachodzi.

Niech $x$ oznacza liczbę pięciozłotówek. Dwuzłotówek jest $x+8$, więc $5x+2(x+8)>300.$ Stąd $7x>284$, czyli $x>40\frac47$. Najmniejszą całkowitą wartością jest $41$.

Niech bilet normalny kosztuje $x$ zł; ulgowy kosztuje wtedy $x-4$ zł. Pan Jerzy dostał resztę, zatem $3x+2(x-4)<100,$ czyli $5x<108$ i $x<21{,}6$.

Zakup pana Wojciecha kosztuje $6x+(x-4)=7x-4$. Z otrzymanego ograniczenia $7x-4<7\cdot21{,}6-4=147{,}2<150,$ więc podana kwota wystarczy.

a) Po pomnożeniu nierówności przez $6$: $6n+6\leq2n+8-3n+6,$ czyli $7n\leq8$. Dla $n\in\mathbb N$ otrzymujemy $A=\{0,1\}$.

b) Lewa strona jest równa $\frac{1-2k}{3}$, a prawa $\frac{3-2k}{3}$. Nierówność sprowadza się do fałszu $1>3$, więc $A=\varnothing$.

Z danych wynika pełny łańcuch $0<a<c<d<b.$ Funkcja $x\mapsto\frac1x$ jest malejąca na liczbach dodatnich, dlatego po przejściu do odwrotności kolejność nierówności się odwraca.

a) Ponieważ $x^2\geq0$, mamy $x^2+0{,}2>0$ dla każdego $x$.

b) Każdy kwadrat jest nieujemny, więc $(5-x)^2\geq0$ dla każdego $x$.

c) $-x^2-1\leq-1<0$ dla każdego $x$.