MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 76

Przedziały są domknięte. Ich część wspólna jest jednoelementowa, gdy przeciwległe końce są równe, ma dodatnią długość, gdy odpowiednie nierówności są ostre, i jest pusta, gdy między przedziałami pozostaje luka.

a) Możliwe są dwa zetknięcia: $4n=6+n\iff n=2,$ $6+2n=3n\iff n=6.$

b) Aby część wspólna miała dodatnią długość, musi zachodzić $4n>6+n\quad\text{oraz}\quad6+2n>3n.$ Stąd $n>2$ i $n<6$. Dla dodatnich liczb naturalnych daje to $n=3,4,5$.

c) Pierwszy przedział leży całkowicie na lewo od drugiego, gdy $4n<6+n\iff n<2,$ czyli dla $n=1$. Drugi leży całkowicie na lewo od pierwszego, gdy $6+2n<3n\iff n>6.$

Przedziały $\left\langle\frac1n;1+\frac1n\right\rangle$ dla kolejnych $n$ nakładają się. Ich suma ma zatem lewy koniec równy najmniejszemu z lewych końców i prawy koniec równy największemu z prawych końców.

a) Dla $n=1,2,3$ najmniejszym lewym końcem jest $\frac13$, a największym prawym końcem jest $2$. Wszystkie końce są domknięte, więc suma wynosi $\left\langle\frac13;2\right\rangle$.

b) Dla $1\le n\le9$ najmniejszy lewy koniec to $\frac19$, natomiast największy prawy koniec nadal wynosi $2$. Otrzymujemy $\left\langle\frac19;2\right\rangle$.

a) Część wspólna $(-2;k^2\rangle$ i $\langle9;\infty)$ jest jednoelementowa, gdy ich granice się stykają: $k^2=9,$ zatem $k=3$ lub $k=-3$.

b) Dla $k=0$ otrzymujemy $(-5;0\rangle\cap\langle0;1)=\{0\}.$ Dla $k<0$ przedziały nakładają się na odcinku dodatniej długości, a dla $0<k<1$ są rozłączne. Jedyną wartością jest więc $k=0$.

c) Jedyny punkt wspólny powstaje przy zetknięciu prawych i lewych końców: $k^2+1=2k\iff(k-1)^2=0,$ czyli $k=1$.

d) Jedynym wspólnym punktem ma być $1$, stąd $k^2-3=1\iff k^2=4,$ więc $k=-2$ lub $k=2$.

a) Przedziały $(-\infty;2-a)$ i $\langle a;10)$ nie mają punktów wspólnych, gdy $2-a\le a\iff a\ge1.$ Uwzględniając warunek $a<10$, otrzymujemy $1\le a<10$.

b) Przedziały otwarte są rozłączne, gdy $4-2a\le-4a+2.$ Stąd $2a\le-2,$ czyli $a\le-1$.

c) Zbiór $\langle-2;6+a\rangle\setminus\langle a;\infty)$ jest pusty dokładnie wtedy, gdy cały pierwszy przedział jest zawarty w drugim. Wystarczy porównać lewe końce: $a\le-2.$ Po połączeniu z warunkiem $a>-8$ dostajemy $-8<a\le-2$.

Prawy koniec $A$ to $m-4$, a lewy koniec $B$ to $3m$. Zachodzą równoważności

$$3m>m-4\iff m>-2,$$ $$3m=m-4\iff m=-2,$$ $$3m<m-4\iff m<-2.$$

a) Dla $m>-2$ przedziały są rozłączne. Po uwzględnieniu $m<5$ otrzymujemy $m\in(-2;5)$.

b) Dla $m=-2$ końce są równe i częścią wspólną jest jeden punkt.

c) Dla $m<-2$ przedziały nakładają się na przedziale dodatniej długości.

Dla dodatniego naturalnego $k$ zachodzi $\sqrt k\le\sqrt{2k}\le\sqrt{3k}\le2k.$ Przedziały nakładają się, zatem

A_k\cap B_k=\langle\sqrt{2k};\sqrt{3k}\rangle.$$ **a)** Liczba całkowitych elementów sumy wynosi $$2k-\lceil\sqrt k\rceil+1.$$ Dla $k=1,2,3$ otrzymujemy odpowiednio $2,3,5$, a dla $k=4$ — $7$. Najmniejsze jest więc $k=4$. **b)** Ponieważ $$B_k\setminus A_k=(\sqrt{3k};2k\rangle,$$ liczba jego całkowitych elementów to $2k-\lfloor\sqrt{3k}\rfloor$. Dla $k=1,2$ wynosi ona $1,2$, a dla $k=3$ wynosi $3$. Najmniejsze jest $k=3$. **c)** Sprawdzamy kolejne dodatnie liczby naturalne w przedziale $\langle\sqrt{2k};\sqrt{3k}\rangle$. Dla $k<12$ znajduje się w nim najwyżej jedna liczba całkowita. Dla $k=12$ mamy $$A_{12}\cap B_{12}=\langle\sqrt{24};6\rangle,$$ do którego należą dokładnie liczby $5$ i $6$.

Oznaczmy prawy koniec $A$ przez $u=3-2m$.

a) Gdy $m\le u$, mamy $A\setminus B=(-\infty;m)$. Aby otrzymać $(-\infty;-4)$, trzeba przyjąć $m=-4$. Warunek $m\le u$ jest wtedy spełniony.

b) Przy nakładaniu się przedziałów zachodzi $B\setminus A=(u;\infty)$. Z równania $u=2\iff3-2m=2$ otrzymujemy $m=\frac12$.

c) Suma dwóch półprostych jest równa $\mathbb R$, gdy nie ma między nimi luki, czyli $m\le3-2m.$ Stąd $3m\le3$, a więc $m\le1$.

a) Wspólne elementy $1$ i $3$ usuwamy, a pozostawiamy elementy należące do dokładnie jednego zbioru: $\{1,3,5,9\}\div\{1,3,4\}=\{4,5,9\}.$

b) Dla $A=(-3;5)$ i $B=\langle-1;7\rangle$ mamy $A\setminus B=(-3;-1),\qquad B\setminus A=\langle5;7\rangle.$ Ich suma jest różnicą symetryczną.

c) Przedział $(5;8\rangle$ jest zawarty w $(0;\infty)$, więc po jego usunięciu pozostaje $(0;5\rangle\cup(8;\infty).$