MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 75

Dla $a\in\langle-\frac12;0)$ zachodzą nierówności

$$\frac1a\le-2<a-1<-1<a<0<a^2.$$

a) Część wspólna $\langle a-1;a)$ i $\langle\frac1a;-1)$ zaczyna się w $a-1$ i kończy przed $-1$: $\langle a-1;-1).$

b) Przedziały $(\frac1a;0)$ i $(a-1;a^2)$ nakładają się, a ich suma biegnie od $\frac1a$ do $a^2$, bez końców: $\left(\frac1a;a^2\right).$

c) Przedział $(\frac1a;a-1)$ jest w całości zawarty w $\langle\frac1a;a)$, więc różnica jest pusta.

Niech $E_{\mathbb Z}=E\cap\mathbb Z$ i $F_{\mathbb Z}=F\cap\mathbb Z$. Z założenia $|E_{\mathbb Z}|=k,\qquad |F_{\mathbb Z}|=m.$

Liczby całkowite należące do $E\cup F$ tworzą zbiór $E_{\mathbb Z}\cup F_{\mathbb Z}$. Z zasady włączeń i wyłączeń

$$|E_{\mathbb Z}\cup F_{\mathbb Z}| =k+m-|E_{\mathbb Z}\cap F_{\mathbb Z}|.$$

Ponieważ liczność części wspólnej jest nieujemna, $|E_{\mathbb Z}\cup F_{\mathbb Z}|\le k+m,$ co należało wykazać.

Korzystamy z rozłącznego rozkładu $A\cup B=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\cup(B\setminus A).$

a) Trzy części łączą się bez luki w $(-5;6\rangle$.

b) Punkty $-8$ i $-7$ są dołączone przez sąsiednie składniki, więc suma wynosi $(-9;1)$.

c) Zbiory $(3;5\rangle$ i $(5;8\rangle$ łączą się dzięki temu, że $5$ należy do pierwszego z nich. Otrzymujemy $(3;8\rangle$.

d) Trzy składniki pokrywają wszystkie punkty od $4$ do $12$ wraz z końcami, czyli dają $\langle4;12\rangle$.

Korzystamy z równości $A=(A\setminus B)\cup(A\cap B),\qquad B=(B\setminus A)\cup(A\cap B).$ Brakującą różnicę odczytujemy z sumy zbiorów.

a) $A=(-4;0)\cup\langle0;3)=(-4;3),$ a pozostałą część sumy musi pokrywać $B$, więc $B=\langle0;\infty)$.

b) Z $B\setminus A=\langle0;6\rangle$ i części wspólnej otrzymujemy $B=(-2;6\rangle$. Pozostała część sumy daje $A=\langle-4;0)$.

c) $A=(-5;0)\cup\langle0;2\rangle=(-5;2\rangle,$ a z całej sumy wynika $B=\langle0;\infty)$.

Takie wynikanie nie musi zachodzić. Rozważmy przedziały $A=(7;11),\qquad B=(4;12),\qquad C=(6;16).$

Liczby $5$ i $10$ należą do $A\cup B$, a liczby $10$ i $15$ należą do $B\cup C$. Jednak $5\notin A\cup C,$ więc zbiór $\{5,15\}$ nie jest zawarty w $A\cup C$. Jest to kontrprzykład.

Przez „przedział” rozumiemy tu niepusty przedział o różnych końcach, zgodnie z konwencją rozdziału.

a) Część wspólna $\langle3;5\rangle$ i $(2;x\rangle$ ma dodatnią długość wtedy i tylko wtedy, gdy $x>3$.

b) Część wspólna $\langle x;9\rangle$ i $\langle5;8\rangle$ ma dodatnią długość wtedy i tylko wtedy, gdy $x<8$.

c) Suma $\langle4;7)$ i $\langle x;8)$ nie ma luki dokładnie wtedy, gdy drugi przedział zaczyna się nie dalej niż w $7$, czyli $x\le7$.

d) Suma $(5;x)$ i $\langle9;\infty)$ jest jednym przedziałem, gdy $x\ge9$. Dla $x=9$ punkt $9$ należy do drugiej części i scala oba zbiory w $(5;\infty)$.

Warunki opisujemy za pomocą odległości od środka przedziału.

$|x-7|\le3\iff4\le x\le10,$ zatem $K=\langle4;10\rangle$.

$|x-9|<1\iff8<x<10,$ więc $M=(8;10)$.

Ponieważ $M\subset K$, mamy $K\cup M=K,\qquad K\cap M=M,\qquad M\setminus K=\varnothing.$ Po usunięciu z $K$ otwartego przedziału $(8;10)$ pozostają $\langle4;8\rangle$ oraz punkt $10$.

Niech $r$ oznacza liczbę całkowitych elementów części wspólnej $A\cap B$. Ponieważ $0\le k\le m$, liczba $r$ może przyjmować wartości od $0$ do $k$.

a) W sumie jest $k+m-r$ liczb całkowitych, więc liczba ta może wynosić od $m$ do $k+m$.

b) W części wspólnej jest od $0$ do $k$ liczb całkowitych.

c) W różnicy $A\setminus B$ jest $k-r$ liczb całkowitych, czyli od $0$ do $k$.

d) W różnicy $B\setminus A$ jest $m-r$ liczb całkowitych, czyli od $m-k$ do $m$.