MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 74

W każdym podpunkcie wystarczy podać jeden przykład.

a) Między $A$ i $B$ jest luka $(1;5)$. Dla $X=(1;5)$ suma wypełnia tę lukę i wynosi $(-8;6)$.

b) Bierzemy $X=\langle0;1\rangle$. Ponieważ ten zbiór jest zawarty w $A\cup B$, jego część wspólna z $A\cup B$ jest równa $X$.

c) Mamy $A\cap B=\varnothing$, więc $(A\cap B)\cup X=X$. Wystarczy wybrać $X=(2;4)$.

d) Jeżeli $X$ zawiera całe $A\cup B$, to obie różnice są puste. Możemy przyjąć $X=(-10;10)$.

a) Wybieramy przedziały stykające się w jednym punkcie: $A=\langle3;5\rangle,\qquad B=\langle5;8\rangle.$ Wtedy $A\cap B=\{5\}$, czyli jest niepustym zbiorem jednoelementowym, a nie przedziałem w przyjętej w książce definicji.

b) Dwa rozłączne przedziały z luką mają sumę, która nie jest przedziałem. Na przykład $A=(4;5),\qquad B=(6;7).$

c) Jeśli z większego przedziału usuniemy przedział leżący w jego wnętrzu, pozostaną dwie części. Dla $A=(1;10),\qquad B=(2;9)$ mamy $A\setminus B=(1;2\rangle\cup\langle9;10)$.

a) Dzielimy prostą w punkcie $5$, przypisując go tylko do drugiego przedziału: $K=(-\infty;5),\qquad L=\langle5;\infty).$ Wtedy przedziały są rozłączne, a ich suma jest równa $\mathbb R$.

b) Ponownie wybieramy dwa rozłączne dopełniające się przedziały, na przykład $K=(-\infty;1\rangle,qquad L=(1;\infty).$ Zatem $K\setminus L=K$ oraz $K\cup L=\mathbb R$.

c) Wybieramy półproste domknięte w zerze: $K=(-\infty;0\rangle,qquad L=\langle0;\infty).$ Ich suma jest równa $\mathbb R$, a częścią wspólną jest $\{0\}$.

Sprawdzamy dla każdej pary, czy dwa przedziały razem dają wymagany przedział.

a) Przykładowe pary $(a,b)$ to $(2,2)$, $(2{,}5,2{,}5)$ oraz $(3,2)$.

b) Przedział $\langle b;3\rangle$ ma być zawarty w $\langle1;a\rangle$. Działają na przykład pary $(3,2)$, $(3,1)$ i $(5,2)$.

c) Tym razem $\langle1;a\rangle$ ma być zawarty w $\langle b;3\rangle$. Możemy wybrać $(2,1)$, $(3,1)$ i $(2,0)$.

d) Lewy koniec sumy ma wynosić $b$, a prawy $a$. Przykładowe pary to $(3,1)$, $(4,0)$ i $(5,-1)$.

a) Przedział $B$ łączy obie części $A$: $A\cup B=(-2;7),\qquad A\cap B=\langle3;4\rangle\cup(5;6\rangle.$

b) Zbiory nie mają punktów wspólnych, a ich suma to $A\cup B=(-\infty;3)\cup\langle4;5\rangle,qquad A\cap B=\varnothing.$

c) Część $(-\infty;0\rangle$ łączy się z $(-1;2)$: $A\cup B=(-\infty;2)\cup\langle5;\infty),\qquad A\cap B=(-1;0\rangle.$

d) Punkt $4$ nie należy do żadnego zbioru, dlatego $A\cup B=(-3;0)\cup(1;4)\cup(4;\infty),\qquad A\cap B=\varnothing.$

a) Dzielimy przedział w punkcie $0$ i przypisujemy ten punkt do drugiej części: $\langle-1;3)=\langle-1;0)\cup\langle0;3).$

b) Z otwartego przedziału $(-2;3)$ usuwamy $(-2;-1)$. Punkt $-1$ pozostaje, więc $(-2;3)\setminus(-2;-1)=\langle-1;3).$

a) $A=(-\infty;4\rangle,qquad B=\langle0;6).$ Przedziały nakładają się, więc $A\cup B=(-\infty;6),qquad A\cap B=\langle0;4\rangle.$

b) $A=(-\infty;0)\cup(3;\infty),qquad B=\langle-3;4).$ Stąd $A\cup B=\mathbb R,qquad A\cap B=\langle-3;0)\cup(3;4).$

c) $A=(-\infty;-1\rangle\cup(6;\infty),qquad B=(-\infty;0)\cup\langle7;\infty).$ Zatem $A\cup B=(-\infty;0)\cup(6;\infty),qquad A\cap B=(-\infty;-1\rangle\cup\langle7;\infty).$