MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 73

Ze skanu odczytujemy położenie zaznaczonych części oraz rodzaj każdego punktu końcowego.

a) Pierwsza część biegnie od $-2$ bez tego punktu do $0$ włącznie, a druga od $2$ bez tego punktu w prawo.

b) Pierwszy odcinek zawiera $-3$, lecz nie zawiera $-1$; drugi nie zawiera ani $2$, ani $4$.

c) Otrzymujemy kolejno półprostą kończącą się przed $-2$, odcinek $(-1;0\rangle$ i półprostą od $2$ włącznie.

d) Zaznaczono $\langle-4;-2\rangle$ oraz półprostą od $0$ włącznie z usuniętym punktem $3$.

W różnicy $A\setminus B$ pozostawiamy punkty należące do $A$, ale nienależące do $B$; analogicznie postępujemy dla $B\setminus A$.

a) Wspólna część zaczyna się w $0$ i kończy przed $7$. Pozostają $A\setminus B=\langle-2;0),\qquad B\setminus A=\langle7;9\rangle.$

b) Przedziały różnią się jedynie końcami: $A\setminus B=\{-2\},\qquad B\setminus A=\{7\}.$

c) Część wspólna to $(1;2)$, zatem $A\setminus B=\langle2;4\rangle,\qquad B\setminus A=(-\infty;1\rangle.$

d) Z pierwszego przedziału usuwamy $\langle0;1)$, a z drugiego — $(3;6)$: $A\setminus B=\langle-2;0)\cup\langle6;\infty),\qquad B\setminus A=\langle1;3\rangle.$

Zauważmy, że $C\subset B$ oraz $C\subset A$.

a) Przedziały $A$ i $B$ nakładają się, więc $A\cup B\cup C=(0;9)$.

b) Część wspólna wszystkich trzech przedziałów jest równa $C=\langle5;6\rangle$.

c) Ponieważ $C\cup B=B$, mamy $(C\cup B)\cap A=B\cap A=(4;8\rangle$.

d) Ponieważ $A\cap C=C\subset B$, otrzymujemy $(A\cap C)\cup B=B=(4;9)$.

e) $A\setminus B=(0;4\rangle$, a ten zbiór jest rozłączny z $C$, więc wynik się nie zmienia.

f) Zbiór $A\cap C=C$ jest zawarty w $B$, zatem po odjęciu $B$ pozostaje zbiór pusty.

Dopełnienie zawiera wszystkie liczby rzeczywiste nienależące do danego zbioru. Przy przejściu do dopełnienia koniec otwarty staje się domknięty i odwrotnie.

a) $(-\infty;4)'=\langle4;\infty)$.

b) $\langle6;\infty)'=(-\infty;6)$.

c) $(-\infty;0)'=\langle0;\infty)$.

d) $\langle1;5\rangle'=(-\infty;1)\cup(5;\infty)$.

e) $(-6;-3)'=(-\infty;-6\rangle\cup\langle-3;\infty)$.

f) Dopełnieniem dwóch zewnętrznych półprostych jest luka między nimi, czyli $(-5;8)$.

Mamy przybliżenia

$$\sqrt2\approx1{,}41,\quad \sqrt{20}\approx4{,}47,\quad \sqrt{10}\approx3{,}16,\quad \sqrt{48}\approx6{,}93.$$

Zatem liczby całkowite w $A$ to $2,3,4$, w $B$ — $4,5,6$, a w $C$ — $6,7,8,9$.

a) $A\cup B=\langle\sqrt2;\sqrt{48}\rangle$, więc zawiera liczby $2,3,4,5,6$, czyli $5$ liczb.

b) $B\cap C=\langle6;\sqrt{48}\rangle$, więc jedyną liczbą całkowitą jest $6$.

c) $A\cap B=\langle\sqrt{10};\sqrt{20}\rangle$ zawiera tylko $4$. Po dołączeniu $C$ otrzymujemy jeszcze $6,7,8,9$, łącznie $5$ liczb.

d) Zbiory $A$ i $B\cap C$ są rozłączne, zatem różnica jest równa $A$ i zawiera $3$ liczby całkowite.

a) Usuwamy dwa domknięte przedziały $\langle-1;2\rangle$ i $\langle3;5\rangle$. Pozostają dwie zewnętrzne półproste oraz otwarta luka między $2$ i $3$: $\mathbb R\setminus A=(-\infty;-1)\cup(2;3)\cup(5;\infty).$

b) Po usunięciu $(-2;3\rangle$ pozostaje półprosta do $-2$ włącznie, a po usunięciu $(4;\infty)$ punkt $4$ pozostaje w dopełnieniu: $\mathbb R\setminus A=(-\infty;-2\rangle\cup(3;4\rangle.$

Najpierw wyznaczamy podstawowe działania: $A\cup B=(-\infty;10),\qquad A\cap B=(6;7\rangle,$ $A'= (7;\infty),\qquad B'=(-\infty;6\rangle\cup\langle10;\infty).$

Stąd

$$\begin{aligned} (A\cup B)'&=\langle10;\infty),\\ (A\cap B)'&=(-\infty;6\rangle\cup(7;\infty),\\ A'\cup B'&=(-\infty;6\rangle\cup(7;\infty),\\ A'\cap B'&=\langle10;\infty). \end{aligned}$$

Ponadto $A\setminus B=(-\infty;6\rangle$, więc $(A\setminus B)'=(6;\infty).$ Na końcu $A'\setminus B'=(7;10).$