MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 72

a) Warunek $x^2\in\langle0;3)$ jest równoważny nierówności $x^2<3,$ czyli $|x|<\sqrt3$. Stąd $-\sqrt3<x<\sqrt3$.

b) Mamy $0\le x^2+2\le3.$ Lewa nierówność jest spełniona dla każdego $x$, a prawa daje $x^2\le1$, czyli $-1\le x\le1$.

c) Z warunku $0\le(x-2)^2\le1$ otrzymujemy $|x-2|\le1$, a więc $1\le x\le3.$

a) Dla $0<x<1$ funkcja $\frac1x$ przyjmuje wszystkie wartości większe od $1$. Żadnego końca nie osiąga, więc otrzymujemy $(1;\infty)$.

b) Mnożenie przez $-1$ odwraca kolejność końców. Z $x\in\langle-3;5)$ wynika $-x\in(-5;3\rangle.$

c) Przedział $\langle-5;9)$ zawiera $0$, więc najmniejszym kwadratem jest $0$. Wartości mogą zbliżać się do $9^2=81$, ale $9$ nie należy do przedziału. Zatem zbiorem kwadratów jest $\langle0;81)$.

Przedział symetryczny ma postać $\langle-a;a\rangle$ dla pewnego $a>0$. Niech $n=\lfloor a\rfloor$. Liczby całkowite należące do tego przedziału to $-n,-n+1,\ldots,-1,0,1,\ldots,n-1,n.$

Każdej dodatniej liczbie całkowitej odpowiada liczba przeciwna, a dodatkowo występuje $0$. Łącznie jest więc $2n+1$ liczb całkowitych, a ta liczba jest nieparzysta.

Dla każdej długości wybieramy liczbę naturalną $k$ taką, że droga należy do $\langle k;k+1)$, a następnie obliczamy $8+2{,}4k$.

a) $4{,}5\in\langle4;5)$, więc $8+2{,}4\cdot4=17{,}60$ zł.

b) $12{,}9\in\langle12;13)$, więc $8+2{,}4\cdot12=36{,}80$ zł.

c) $12{,}1\in\langle12;13)$, zatem opłata także wynosi $36{,}80$ zł.

d) $6\in\langle6;7)$, więc $8+2{,}4\cdot6=22{,}40$ zł.

e) $0{,}9\in\langle0;1)$, więc $8+2{,}4\cdot0=8$ zł.

f) $3\in\langle3;4)$, więc $8+2{,}4\cdot3=15{,}20$ zł.