MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 71

Nierówność ostra daje otwarty koniec przedziału, a nierówność nieostra — koniec domknięty.

a) Wykluczamy jeden punkt $\sqrt3$: $x\in(-\infty;\sqrt3)\cup(\sqrt3;\infty).$

b) Z warunku $x\ge\sqrt3$ mamy $x\in\langle\sqrt3;\infty)$.

c) Z warunku $x<-\sqrt3$ mamy $x\in(-\infty;-\sqrt3)$.

d) Oba warunki muszą zachodzić jednocześnie: $-\sqrt3<x<\sqrt3,$ czyli $x\in(-\sqrt3;\sqrt3)$.

e) Alternatywa daje dwie rozłączne półproste: $x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;\infty).$

f) Każda liczba rzeczywista spełnia co najmniej jeden z warunków $x<\sqrt3$ lub $x>-\sqrt3$, więc otrzymujemy $\mathbb R$.

Ponieważ w otwartym przedziale $(a;b)$ są dokładnie dwie liczby całkowite, a jego końce są całkowite, $b-a-1=2,$ zatem $b=a+3$. Dalej $c=b+2=a+5,\qquad d=a+10.$

Warunek $7\in\langle a;c)$ daje $a\le7<a+5,$ czyli $2<a\le7$. Z kolei $7\in(b;d\rangle$ oznacza $a+3<7\le a+10,$ więc $-3\le a<4$. Jedyną całkowitą wartością spełniającą oba warunki jest $a=3$. Stąd $a=3,\qquad b=6,\qquad c=8,\qquad d=13.$

W każdym podpunkcie wybieramy najbliższe całkowite końce obejmujące wszystkie wskazane liczby. Warunek $a<b$ wyklucza przedział jednoelementowy.

a) $2<\sqrt5<3$, więc najmniejszy jest przedział $\langle2;3\rangle$.

b) $\sqrt{100}=10$. Najmniejsza możliwa długość wynosi $1$, a liczbę $10$ zawierają dwa takie przedziały: $\langle9;10\rangle$ i $\langle10;11\rangle$.

c) $2<\sqrt8<3<\sqrt{10}<4$, zatem potrzebny jest przedział $\langle2;4\rangle$.

d) $6<\sqrt{44}<\sqrt{54}<\sqrt{64}=8$, więc najmniejszy jest przedział $\langle6;8\rangle$.

Przy zaokrąglaniu do danego rzędu bierzemy liczby oddalone od wyniku o mniej niż połowę jednostki tego rzędu. Dolny punkt graniczny należy do zbioru, a górny już nie.

a) Połowa dziesiątki to $5$: $75\le x<85$.

b) Połowa jedności to $0{,}5$: $12{,}5\le x<13{,}5$.

c) Połowa jednej dziesiątej to $0{,}05$: $1{,}65\le x<1{,}75$.

d) Połowa jednej setnej to $0{,}005$: $0{,}515\le x<0{,}525$.

e) Połowa jednej tysięcznej to $0{,}0005$: $0{,}0045\le x<0{,}0055$.

f) Analogicznie otrzymujemy $-0{,}0005\le x<0{,}0005$.

a) Przedziały są rozłączne. Najmniejszą odległość wyznaczają najbliższe końce, a największą — końce najbardziej oddalone: $4-2=2,\qquad 7-(-9)=16.$

b) Przedziały przecinają się w $\langle5;6\rangle$, więc można wybrać ten sam punkt z obu przedziałów i otrzymać odległość $0$. Najbardziej oddalone są punkty $2$ i $9$: $9-2=7.$

Niech $x$ oznacza długość krótszego boku, a $y$ — dłuższego. Z pola prostokąta $xy=72$ otrzymujemy $y=\frac{72}{x}.$

Dla $x\in\langle6;8\rangle$ funkcja $\frac{72}{x}$ jest malejąca, więc $\frac{72}{8}\le y\le\frac{72}{6},$ czyli $9\le y\le12.$ Obie skrajne wartości są osiągalne, a długości nie przekraczają boku kartki.

Niech $x$ i $y$ należą do tego samego przedziału. Możemy przyjąć, że $x\le y$. Wtedy $2x\le x+y\le2y,$ a po podzieleniu przez $2$: $x\le\frac{x+y}{2}\le y.$

Każdy przedział zawierający $x$ i $y$ zawiera także wszystkie liczby leżące między nimi. Zatem zawiera również ich średnią arytmetyczną $\frac{x+y}{2}$, co należało wykazać.