MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 70

Sprowadzamy liczby do mianownika $120$:

a) Dodając równania stronami, otrzymujemy $2b=14$, więc $b=7$ i $a=5$.

b) Z $b=2a$ i $a+b=15$ mamy $3a=15$, czyli $a=5$, $b=10$.

c) Iloczyn $ab=0$ oznacza, że jeden z końców jest równy $0$. Ponieważ $a<b$ i $a+b=3$, mamy $a=0$, $b=3$.

Mamy $2<\sqrt7<3$. Aby w $(\sqrt7;a)$ były dokładnie dwie liczby całkowite, muszą to być $3$ i $4$, zatem $4<a\leq5$.

Ponieważ $8<\sqrt{70}<9$, dokładnie trzy liczby całkowite w $(a;\sqrt{70})$ to $6,7,8$. Stąd $5\leq a<6$. Przecięcie warunków $(4;5\rangle$ i $\langle5;6)$ zawiera tylko liczbę $5$.

Wyznaczamy kolejne liczby całkowite otaczające każdą liczbę: $-2<1-\sqrt5<-1,$ $13<4\sqrt3+7<14,$ $-10<-\sqrt{82}<-9,$ $3<\sqrt[3]{53}<4.$ Przykładowo ostatnia nierówność wynika z $3^3<53<4^3$.

Rozkład $189=3^3\cdot7$ daje dzielniki $1,3,7,9,21,27,63,189.$ Po odrzuceniu $1$ i $189$ najmniejszym dzielnikiem jest $3$, a największym $63$. Oba należą do szukanego przedziału.

Łączymy oba warunki w każdym podpunkcie:

a) $p<x<2$, więc niepusty przedział powstaje dla $p<2$.

b) $p\leq x\leq4$; zgodnie z przyjętą w rozdziale konwencją przedziału o różnych końcach wymagamy $p<4$.

c) $p<x\leq5$, więc $p<5$.

d) $3\leq x\leq p$, więc $p>3$.

a) Mnożymy oba końce przedziału długości kroku przez $100$: $100\cdot\frac45=80,\qquad100\cdot\frac54=125.$

b) Jeśli długość kroku wynosi $l$, liczba kroków jest równa $n=\frac{200}{l}$. Funkcja ta maleje dla $l>0$, więc $\frac{200}{5/4}=160\leq n\leq\frac{200}{4/5}=250.$

W tej książce $0\in\mathbb N$. Liczymy całkowite wartości między końcami, uwzględniając ich otwarcie lub domknięcie:

a) od $0$ do $10$: $11$ liczb. b) tylko $1$: $1$ liczba. c) od $0$ do $4$: $5$ liczb. d) od $0$ do $100$: $101$ liczb. e) od $6$ do $1110$: $1110-6+1=1105$ liczb. f) $100$ i $101$: $2$ liczby.

Szukana liczba całkowita musi leżeć poniżej dolnej granicy przedziału. Jeżeli dolny koniec jest otwarty i sam jest liczbą całkowitą, może być szukaną liczbą, bo każdy element przedziału jest od niego większy.

Korzystamy też z przybliżeń $2<\sqrt7<3$ i $3<\sqrt{11}<4$.