MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 68

Niech $S,I,M$ oznaczają odpowiednio zainteresowanie sportem, informatyką i muzyką. Ocenę dostateczną lub dobrą ma najwyżej $25-6=19$ uczniów, więc $|S\cup I\cup M|\leq19$.

Suma liczności zbiorów wynosi $17+13+8=38$. Ponieważ część wspólna wszystkich trzech jest pusta, jeden uczeń może być w tej sumie policzony najwyżej dwa razy. Zatem $2|S\cup I\cup M|\geq38,$ czyli $|S\cup I\cup M|\geq19$. Łącznie z poprzednią nierównością daje to $|S\cup I\cup M|=19$, a każdy z tych uczniów należy dokładnie do dwóch zbiorów.

Jeśli $x=|S\cap I|$, $y=|S\cap M|$ i $z=|I\cap M|$, to $x+y=17,\qquad x+z=13,\qquad y+z=8.$ Stąd $z=\frac{13+8-17}{2}=2.$ Wszyscy pozostali po odjęciu sześciu uczniów z ocenami niskimi mają ocenę dostateczną lub dobrą, więc ocenę bardzo dobrą lub celującą ma $19-19=0$ uczniów.

Niech $K$ oznacza rodziny posiadające komputer, a $S$ — samochód. Z podanych liczności wynika $|K\cup S|=|K|+|S|-|K\cap S|=50+40-20=70.$ Jest to sprzeczne z informacją, że komputer lub samochód ma $80$ rodzin.

Ponieważ $\pi-2\approx1{,}14$ i $\pi+4\approx7{,}14$, $A=\{2,3,4,5,6,7\}.$ Warunek dla $B$ zachodzi, gdy $n+1$ jest dodatnim dzielnikiem $6$, więc $B=\{0,1,2,5\}.$ Liczby naturalne nieparzyste mniejsze od $10$ tworzą zbiór $C=\{1,3,5,7,9\}.$

Na diagramie umieszczamy: tylko $A$: $4,6$; tylko $B$: $0$; tylko $C$: $9$; w $(A\cap B)\setminus C$: $2$; w $(A\cap C)\setminus B$: $3,7$; w $(B\cap C)\setminus A$: $1$; w $A\cap B\cap C$: $5$.

Mamy $A\cap B=\{2,6,7\}$, $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, $B\setminus A=\{3,5,9\}$ oraz $A\setminus B=\{1,4,8\}$.

a) Zbiór $C$ jednocześnie zawiera i zawiera się w $\{2,6,7\}$. b) Musi zawierać całą sumę i zarazem być jej podzbiorem. c) Warunki wymuszają $C=B\setminus A$. d) Warunki wymuszają $C=(A\cup B)\setminus B=A\setminus B$.