MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 67

a) Iloczyn zbiorów zawiera się w każdym z nich, a każdy z nich w ich sumie. Jeżeli suma i iloczyn są równe, to $A=B$.

b) Z prawa absorpcji $A\cap(A\cup B)=A$, więc warunek daje $A=B$.

c) $(A\cup B)\setminus B=A\setminus B$. Równość z $A$ zachodzi dokładnie wtedy, gdy $A\cap B=\varnothing$.

d) Zbiory $A\setminus B$ i $B\setminus A$ są rozłączne. Jeśli są równe, oba są puste, zatem $A=B$.

e) $(A\setminus B)\cup B=A\cup B$, więc równość z $A$ jest równoważna $B\subset A$.

f) Odejmowane zbiory są rozłączne, zatem lewa strona to $A\setminus B$. Jest ona równa $A$ dokładnie dla zbiorów rozłącznych.

Z zasady włączeń i wyłączeń $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=20+20-25=15.$ Poza częścią wspólną w każdym zbiorze pozostaje $20-15=5$ elementów.

W sumie $|A|+|B|$ elementy części wspólnej są policzone dwa razy, więc przy obliczaniu $|A\cup B|$ odejmujemy $c$ raz. Różnica symetryczna zawiera po $a-c$ i $b-c$ elementów z części wyłącznych.

Zbiór $A$ składa się z części $A\setminus B$ oraz $A\cap B$, zatem $A=\{3,7\}\cup\{1,2\}=\{1,2,3,7\}.$ W sumie pozostaje jeszcze element $8$. Nie należy on do $A$, więc musi należeć wyłącznie do $B$.

Niech $M$ oznacza uczniów wypoczywających nad morzem, a $D$ — u dziadków. Ponieważ w klasie jest $30$ osób, $|M\cup D|\leq30$. Stąd $|M\cap D|=|M|+|D|-|M\cup D|\geq25+8-30=3.$

Sprawdzamy kolejno proste kombinacje różnic, sum i części wspólnych. Przykładowo $A\setminus B=\{1,2\}$, zaś $A\cap B\cap C=\{4\}$.

a) Zaznaczone są elementy należące do $A$ lub $B$, ale nienależące do $C$.

b) Zaznaczone są dwie części zbioru $B$: wspólna z $A$ poza $C$ oraz wspólna z $C$ poza $A$.

c) Zaznaczono część wyłącznie zbioru $C$ oraz część wspólną wszystkich trzech zbiorów.

Niech $m$ oznacza liczbę matematyków, $s$ — liczbę szachistów, a $w$ — liczbę osób należących do obu grup. Z treści $w=\frac{m}{6}=\frac{s}{3}.$ Stąd $m=6w$ i $s=3w$, zatem $m=2s$.