MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 66

Niech $A$ oznacza zbiór uczniów, którzy rozwiązali pierwsze zadanie, a $B$ — tych, którzy rozwiązali drugie. Co najmniej jedno zadanie rozwiązało $24-2=22$ uczniów, więc $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=18+16-22=12.$

a) Z warunku $n<5$ otrzymujemy $B=\{0,1,2,3,4\}$. Porównanie elementów zbiorów daje wszystkie cztery działania.

b) Ponieważ $2\sqrt2\approx2{,}83$ i $3\sqrt3\approx5{,}20$, mamy $B=\{3,4,5\}$.

Wykonujemy działania od najbardziej wewnętrznych. Mamy $B\cap C=\varnothing$, $A\setminus D=\{3,4,6\}$, $C\setminus D=\{4,6,15\}$, $A\setminus B=\{3,4,6\}$ oraz $D\setminus A=\{10,20\}$.

Poza liczbą $3$ każda potęga liczby $3$ należąca do $A$ jest podzielna przez $9$, więc należy do $B$. Zatem do sumy dochodzi tylko element $3$, a część wspólna zawiera wszystkie elementy $A$ poza $3$.

Ponieważ każda biała róża jest różą, $D\subset B$. Ponadto $A\setminus C'=A\cap C$, a usunięcie dopełnienia $B$ ze zbioru $D\subset B$ nie usuwa żadnego elementu.

Z diagramu odczytujemy: tylko w $A$ są $1,2,3$, w części wspólnej $4,5$, tylko w $B$ — $6,7,8$, a poza $A\cup B$ — $9,10$. Następnie pozostawiamy elementy należące do wskazanych części diagramu.

Korzystamy z rozkładu zbiorów na rozłączne części $A\setminus B$, $A\cap B$ i $B\setminus A$. W szczególności $A\setminus B$ jest rozłączny z $B$, a $B\setminus A$ jest rozłączny z $A$.

Równość $A\cup B=A$ oznacza, że $B$ nie wnosi elementów spoza $A$. Równość $A\cap B=B$ mówi, że każdy element $B$ należy do $A$. Warunek $A\setminus B=A$ zachodzi wtedy, gdy zbiory są rozłączne, a $B\setminus A=\varnothing$ — wtedy, gdy $B\subset A$.