MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 65

Część wspólna zawiera tylko elementy należące jednocześnie do porównywanych zbiorów.

a) Wspólnym elementem $A$ i $B$ jest $3$; zbiory $A$ i $C$ mają wspólne $3,6$, a zbiory $B$ i $C$ — $3,5$. Do wszystkich trzech należy tylko $3$.

b) Odpowiednie wspólne elementy par to $2$, $1$ i $3$. Żaden element nie należy do wszystkich trzech zbiorów.

c) Zbiór $A=\{1\}$ zawiera się w obu pozostałych, a wspólną częścią $B$ i $C$ jest $\{1,2\}$.

Suma zbiorów zawiera każdy element występujący w co najmniej jednym z nich; powtórzenia zapisujemy tylko raz. Stosując tę zasadę kolejno do każdej pary i do wszystkich trzech zbiorów, otrzymujemy poniższe listy.

Najpierw wypisujemy zbiory:

Widać, że $C\subset A$. Wspólnym elementem $B$ i $C$ jest tylko $36$. Usuwając z $A$ wielokrotności $18$, pozostawiamy $27,45,63,81,99$. Elementy $B$ nienależące do $A$ to $29,92$.

a) Zbiór $X$ nie może zawierać elementów spoza $\{1,2,3\}$ i musi zawierać $3$. Elementy $1$ i $2$ mogą należeć do $X$ albo nie, co daje cztery możliwości.

b) Po usunięciu z $X$ liczb $2$ i $3$ mają pozostać dokładnie $4$ i $5$. Zatem $X$ musi zawierać $4,5$, nie może zawierać innych elementów spoza $\{2,3,4,5\}$, a liczby $2,3$ są opcjonalne. Znów otrzymujemy cztery możliwości.

Jeśli $A\subset B$, to dodanie do $A$ wszystkich elementów $B$ daje $B$, a część wspólna zawiera całe $A$. W zbiorze $A$ nie ma wtedy elementów spoza $B$. Dwa przeciwne zawierania $A\subset B$ i $B\subset A$ oznaczają zaś równość zbiorów.

a) Zbiór $A$ zawiera liczby $6,7,8,\ldots$. Po usunięciu ich ze zbioru liczb naturalnych pozostają $0,1,2,3,4,5$.

b) Liczbami naturalnymi, które nie są nieparzyste, są liczby parzyste, czyli $0,2,4,6,\ldots$.