MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 64

Zbiór liczb jednocyfrowych to $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},$ więc ma $10$ elementów. Jednocyfrowe liczby pierwsze tworzą zbiór $B=\{2,3,5,7\}.$ Wszystkich podzbiorów $A$ jest $2^{10}$. Podzbiór zawierający $B$ musi zawierać te cztery liczby, a o każdym z pozostałych sześciu elementów można decydować dowolnie. Takich podzbiorów jest zatem $2^6$. Szukana liczba wynosi $2^{10}-2^6=1024-64=960.$

Jeśli $Z$ ma $n$ elementów, to jego zbiór podzbiorów $\mathcal P(Z)$ ma $2^n$ elementów. Zbiór podzbiorów tego zbioru ma więc $|\mathcal P(\mathcal P(Z))|=2^{2^n}.$ Podstawiamy kolejno $n=2,3,10$.

Niech $n=|A|$. Podzbiorów pustych jest $1$, jednoelementowych jest $n$, a dwuelementowych $\binom n2$. Zatem

Po pomnożeniu przez $2$ otrzymujemy

Liczność zbioru nie może być ujemna, więc $n=10$.

Oznaczmy rozmieszczane elementy przez $x$ i $y$. Wystarczy wskazać region diagramu, w którym ma znaleźć się każdy z nich.

a) Umieszczamy oba elementy w $A\cap B\cap C$.

b) Umieszczamy $x$ tylko w $A$, a $y$ w $(B\cap C)\setminus A$.

c) Umieszczamy $x$ w $A\cap B\cap C$, a $y$ w $(A\cap B)\setminus C$.

d) Umieszczamy $x$ tylko w $A$, a $y$ w $(A\cap B)\setminus C$.

e) Umieszczamy oba elementy w $(A\cap B)\setminus C$.

f) Umieszczamy oba elementy w $A\setminus(B\cup C)$.

Rozdzielamy pięć elementów pomiędzy trzy regiony: tylko $A$, część wspólną $A\cap B$ oraz tylko $B$. Podane niżej liczby w tych regionach dają żądane liczności obu zbiorów.

a) Tylko $A$: $1$, wspólna: $1$, tylko $B$: $3$.

b) Tylko $A$: $1$, wspólna: $3$, tylko $B$: $1$.

c) Tylko $A$: $1$, wspólna: $4$, tylko $B$: $0$.

d) Tylko $A$: $0$, wspólna: $5$, tylko $B$: $0$.

e) Tylko $A$: $2$, wspólna: $1$, tylko $B$: $2$.

a) Warunek definiujący $A$ przekształcamy: $3x+28\ne49\iff3x\ne21\iff x\ne7.$ Ponieważ $\sqrt{49}=7$, oba zbiory są równe $\mathbb R\setminus\{7\}$.

b) Wyrażenie $\frac1{(x-1)^2}$ jest określone i dodatnie dokładnie dla $x\ne1$. Drugi warunek daje $2x-1\ne1\iff x\ne1.$ Oba zbiory są więc równe $\mathbb Z\setminus\{1\}$.

c) Liczby $x+3$ i $x-2$ różnią się o $5$. Zatem $5\mid(x+3)\iff5\mid((x+3)-5)\iff5\mid(x-2),$ więc oba warunki wyznaczają te same liczby naturalne.

Z $A\subset B$ i $B\subset C$ wynika $A\subset C$. Wraz z założeniem $C\subset A$ otrzymujemy dwa zawierania przeciwne, więc $A=C$.

Ponadto $C\subset A\subset B$, zatem $C\subset B$. Ponieważ jednocześnie $B\subset C$, mamy $B=C$. W konsekwencji $A=B=C$, co należało udowodnić.

Zbiór $D_n$ zawiera wielokrotności liczby $n$. Zachodzi $D_a\subset D_b\quad\text{dokładnie wtedy, gdy}\quad b\mid a,$ bo każda wielokrotność $a$ jest wówczas także wielokrotnością $b$.

Sprawdzając podzielność liczb $2,3,4,6,8,12$, otrzymujemy:

Dwuelementowy podzbiór powstaje przez wybór dwóch różnych elementów bez uwzględniania kolejności. Zatem zbiór $A_n$ ma

takich podzbiorów. Dla $n=4$ i $n=5$ otrzymujemy odpowiednio $\binom42=6$ oraz $\binom52=10$.