MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 63

Zbiór $k$-elementowy ma $2^k$ podzbiorów. Podstawiamy kolejno podane wartości $k$:

Jeżeli zbiór ma $n$ elementów, to ma $2^n$ podzbiorów.

a) $64=2^6$, więc $n=6$.

b) $512=2^9$, więc $n=9$.

c) $2=2^1$, więc $n=1$.

d) Jedyną potęgą liczby $2$ większą od $200$ i mniejszą od $300$ jest $256=2^8$, więc $n=8$.

Niech badany zbiór ma $n$ elementów. Wtedy liczba jego podzbiorów wynosi $2^n$. Z założenia $2^n<500.$ Ponieważ $2^8=256<500<512=2^9,$ nie może być $n\ge9$. Zatem $n\le8$, co należało wykazać.

Zbiór $1000$-elementowy ma $2^{1000}$ podzbiorów. Korzystając z podanego przybliżenia, otrzymujemy

Zatem $10^{301}<2^{1000}<10^{302}.$ Liczba leżąca w tym przedziale ma $302$ cyfry.