MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 62

Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:

$$3=3,\quad 6=2\cdot3,\quad 81=3^4,\quad 99=3^2\cdot11,\quad 111=3\cdot37.$$

Tworząc wszystkie iloczyny dopuszczalnych potęg tych czynników, otrzymujemy pełne listy dodatnich dzielników.

Elementy zbioru $D$ mają postać $3k+2$.

a) Liczba $100$ daje resztę $1$, więc pierwszą trzycyfrową liczbą z resztą $2$ jest $101$.

b) Liczba $9999$ jest podzielna przez $3$, zatem największą czterocyfrową liczbą dającą resztę $2$ jest $9998$.

c) Parzyste elementy otrzymujemy na przykład dla $k=0,2,4$, co daje $2,8,14$.

a) Wypisujemy dodatnie dzielniki obu liczb:

$$A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\},\qquad B=\{1,2,3,4,6,12\}.$$

Każdy element $B$ należy do $A$, ale $8\in A$ i $8\notin B$. Zatem $B\subset A$, natomiast $A\not\subset B$.

b) Zbiór $A=\{4,8,12,16,\ldots\}$ jest nieskończony, a $B=\{1,2,4,8,16,32,64\}.$ Liczba $12$ należy do $A$, lecz nie do $B$, natomiast $1$ należy do $B$, lecz nie do $A$. Nie zachodzi żadne z dwóch zawierań.

Podzbiór dwu- lub trzyelementowy jest wyznaczony przez wybór odpowiednio dwóch lub trzech spośród pięciu elementów. Wypisujemy każdy wybór tylko raz.

a) Pary to

$$\{u,w\},\{u,x\},\{u,y\},\{u,z\},\{w,x\},\{w,y\},\{w,z\}, \{x,y\},\{x,z\},\{y,z\}.$$

b) Trójki to

$$\begin{gathered} \{u,w,x\},\{u,w,y\},\{u,w,z\},\{u,x,y\},\{u,x,z\},\{u,y,z\},\\ \{w,x,y\},\{w,x,z\},\{w,y,z\},\{x,y,z\}. \end{gathered}$$

c) W obu listach jest po $\binom52=\binom53=10$ podzbiorów.

Szukane zbiory są dokładnie podzbiorami części wspólnej $A\cap B$.

a) Mamy $A\cap B=\{3,4\}$, więc jego podzbiorami są $\varnothing,\{3\},\{4\},\{3,4\}$.

b) Tutaj $A\subset B$, zatem każdy z $2^3=8$ podzbiorów zbioru $A$ jest również podzbiorem $B$.

Aby wykazać, że jeden zbiór nie zawiera się w drugim, wystarczy wskazać element pierwszego zbioru, który nie należy do drugiego.

a) Liczba $2$ jest pierwsza, lecz jest parzysta. Zatem $2\in A$ i $2\notin B$.

b) Liczba $12$ jest wielokrotnością $6$, ale suma jej cyfr wynosi $3$, czyli nie jest podzielna przez $6$. Zatem $12\in C$ i $12\notin D$.

c) Dla $x=-1$ mamy $x^2=1>0$, lecz $x$ nie jest dodatni. Zatem $-1\in E$ i $-1\notin F$.

a) Każda liczba całkowita jest wymierna, więc $\mathbb Z\subset\mathbb Q$.

b) Zbiór $\mathbb Q_+$ nie zawiera się w $\mathbb N$, bo na przykład $\frac12\in\mathbb Q_+$ i $\frac12\notin\mathbb N$. Z kolei $0\in\mathbb N$, lecz $0\notin\mathbb Q_+$. Nie zachodzi więc żadne zawieranie i nie da się wpisać żadnego z podanych symboli.

c) Każda liczba wymierna jest rzeczywista, więc $\mathbb R\supset\mathbb Q$.

d) Każda liczba całkowita jest rzeczywista, więc $\mathbb Z\subset\mathbb R$.

e) Liczba $0$ jest wymierna, zatem $\{0\}\subset\mathbb Q$.