MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 61

W zbiorze $A$ upraszczamy trzy elementy:

Wszystkie sześć wartości jest różnych, a po uporządkowaniu skrajne wartości to $-10$ i $3\sqrt5$.

W zbiorze $B$ jest siedem różnych ułamków. Spośród liczb ujemnych najmniejsza jest $-\frac12$, a spośród dodatnich największa jest $\frac13$.

Parzyste liczby trzycyfrowe tworzą ciąg $100,102,\ldots,998.$ Ma on $\frac{998-100}{2}+1=450$ wyrazów. Zbiór $D$ zawiera liczby całkowite od $-4$ do $8$, czyli $8-(-4)+1=13$ elementów.

a) Wspólne dzielniki liczb $84$ i $120$ są dzielnikami ich największego wspólnego dzielnika: $\operatorname{NWD}(84,120)=12.$ Są to $1,2,3,4,6,12$.

b) Jedyną parzystą liczbą pierwszą jest $2$.

c) Dwucyfrowe wielokrotności $9$ biegną od $18=2\cdot9$ do $99=11\cdot9$.

d) Liczba $0$ nie ma odwrotności. Odwrotności liczb naturalnych $1,2,3,4,5$ to odpowiednio $1,\frac12,\frac13,\frac14,\frac15$.

Wynik dwóch rzutów zapisujemy jako uporządkowaną parę $(a,b)$, gdzie $a$ jest wynikiem pierwszego rzutu. Dla sumy $9$ otrzymujemy pary $(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$, dla sumy $10$ pary $(4,6),(5,5),(6,4)$, dla sumy $11$ pary $(5,6),(6,5)$, a dla sumy $12$ parę $(6,6)$.

a) Ponieważ $\sqrt{x^2}=|x|$, mamy $A=\{-2,2\}$. W zbiorze $B$ musi być $x\ge0$, a $(\sqrt x)^2=x$, więc $B=\{2\}$. Zbiory nie są równe.

b) Oba warunki opisują wszystkie liczby rzeczywiste poza $6$, zatem $A=B=\mathbb R\setminus\{6\}$.

c) Zbiór $A$ zawiera liczby $3,9,15,\ldots$. W zbiorze $B$ wartość $n=0$ daje $-3$, która nie jest naturalna, a dla $n\ge1$ otrzymujemy ten sam ciąg $3,9,15,\ldots$. Zatem $A=B$.

d) Z równania $\log_2x^2=4$ wynika $x^2=16$, więc $A=\{-4,4\}$. Warunek $x>0$ w logarytmie oraz równanie $2\log_2x=4$ dają $B=\{4\}$. Zbiory nie są równe.

e) Zachodzi tożsamość $x^3-x=x(x-1)(x+1)$, więc oba równania mają pierwiastki $-1,0,1$ i zbiory są równe.

Rozkładamy trójmian na czynniki:

Stąd $A=\{-2,5\}$. Zatem $-2$ należy do $A$, $-5$ nie należy do $A$, $7$ nie należy do $A$, natomiast zdanie $5\notin A$ jest fałszywe.