MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 59

Niech $\log_{\sqrt2}2=x$. Wtedy

$$(\sqrt2)^x=2,\qquad 2^{x/2}=2^1,$$

więc $x=2$.

Łączymy czternaście par czynników $2\cdot5$:

$$2^{14}5^{15}=5(2\cdot5)^{14}=5\cdot10^{14}.$$

Jest to cyfra $5$ i czternaście zer, czyli razem $15$ cyfr.

Prowizja zmalała z $4\%$ do $3\%$. Spadek o jeden punkt procentowy stanowi względem początkowej prowizji

$$\frac{4\%-3\%}{4\%}\cdot100\%=25\%.$$

Przenosimy dwa pierwsze ułamki na prawą stronę:

$$\frac1a=1-\frac14-\frac15 =1-\frac9{20}=\frac{11}{20}.$$

Po odwróceniu otrzymujemy $a=\frac{20}{11}$.

Korzystamy z własności logarytmów:

$$2\log_3 6-\log_3 4 =\log_3\frac{6^2}{4} =\log_3 9=2.$$

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$. Ponieważ $1-\sqrt2<0$, ale $2-\sqrt2>0$, mamy

$$|1-\sqrt2|+|2-\sqrt2| =\sqrt2-1+2-\sqrt2=1.$$

Zapisujemy liczbę $a$ jako potęgę liczby $2$:

$$a=\frac{\sqrt[4]{8}}2 =\frac{2^{3/4}}{2}=2^{-1/4}=k.$$

Sprowadzamy wszystkie czynniki do potęg liczby $3$:

$$\frac{3^{1995}\cdot3^{-92/3}}{3^{-152/3}} =3^{1995-\frac{92}{3}+\frac{152}{3}} =3^{2015}.$$