MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 58

Wśród czterech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez $4$, a inna jest parzysta, więc ich iloczyn zawiera czynnik $8$. Wśród tych liczb jest też wielokrotność $3$. Iloczyn jest zatem zawsze podzielny przez $8\cdot3=24$.

Suma dwóch liczb pierwszych może być pierwsza. Przykładem jest $2+3=5.$ Nie dzieje się tak zawsze, bo na przykład $3+5=8$. Poprawne jest więc stwierdzenie „może być liczbą pierwszą”.

Jeśli liczba przy dzieleniu przez $2$, $3$ i $4$ daje resztę $1$, to liczba o jeden mniejsza jest podzielna przez $\operatorname{NWW}(2,3,4)=12.$ Ma więc postać $12k+1$.

Obliczamy kolejno:

Po porównaniu wartości, na przykład przez przybliżenia $1{,}167$, $1{,}35$, $1{,}467$, $1{,}548$, najmniejsze jest $P$.

Sprowadzamy wszystko do potęg liczby $2$:

Rozpisujemy początkowe cyfry rozwinięć:

Najmniejsza jest trzecia liczba.

Mamy $0{,}(63)=\frac{63}{99}=\frac7{11}$, zatem

Obliczamy:

Tylko $x_4$ jest niewymierna.

Ponieważ podstawa $\frac12$ jest odwrotnością $2$,

Ze wzoru na zmianę podstawy $a=\log_5 2=\frac1{\log_2 5},$ czyli $\log_2 5=\frac1a$. Szukana wartość to $-2-\frac1a$.