MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 56

Sprowadzamy wszystkie liczby do potęg liczby $2$.

a)

z=2\cdot2^{60}.$$ Wspólny czynnik jest dodatni, więc $z<y<x$. **b)** $$x=5\cdot2^{-30},\qquad z=3\cdot2^{-30},\qquad y=4\cdot2^{-40}=2^{-38}=2^{-8}\cdot2^{-30}.$$ Ponieważ $2^{-8}<3<5$, mamy $y<z<x$.

Korzystamy z praw działań na potęgach.

a)

=2^6\cdot2^{-8}=2^{-2}=\frac14.$$ **b)** $$\frac{60^6}{((-40)^2)^3} =\left(\frac{60}{40}\right)^6 =\left(\frac32\right)^6=\frac{729}{64}=11\frac{25}{64}.$$ **c)** W obu nawiasach potęgi liczby $10$ redukują się do $10^0$: $$\left(10^4\cdot10^{-4}\right)^{-6}: \left(10^{-12}\cdot10^{12}\right)^{-2}=1.$$ **d)** Mianownik to $3^9:3^8=3$, zatem $$\frac{10^{-3}+10^{-1}+10}{3} =\frac{10{,}101}{3}=3{,}367.$$

Zapisujemy obie strony każdego równania jako potęgi tej samej podstawy.

a) $-0{,}00001=(-10)^{-5}$, więc $x=-10$.

b) $\frac1{216}=6^{-3}$, więc $x=-3$.

c) $1\frac79=\frac{16}{9}=(\frac34)^{-2}$, więc $x=-2$.

d) $0{,}1^x=(10^{-1})^x=10^2$, więc $x=-2$.

W podpunktach a), b) odejmujemy, a w c), d) obliczamy iloraz.

a) $2^{22}-2^{20}=2^{20}(2^2-1)=3\cdot2^{20}.$

b) $10^{10}-10^9=10^9(10-1)=9\cdot10^9.$

c) $\frac{22^6}{11^6}=2^6=64.$

d) $\frac{5^{44}}{25^{20}}=\frac{5^{44}}{5^{40}}=5^4=625.$

Redukujemy wykładniki, pamiętając o znaku potęgi liczby $-x$.

a)

=\frac{x^{-16}}{-x^{-17}}=-x.$$ Dla $x=-0{,}4$ otrzymujemy $0{,}4$. **b)** Licznik upraszcza się do $$x^3y^6\cdot\frac1{9x^4y^2}=\frac{y^4}{9x},$$ a mianownik do $$2^{-4}x^{-20}:\left(\frac32\right)^{-2}x^{-20}y^{-2} =\frac{9y^2}{64}.$$ Całe wyrażenie ma więc postać $\frac{64y^2}{81x}$. Po podstawieniu $x=\frac23$, $y=-\frac14$ dostajemy $$\frac{64\cdot\frac1{16}}{81\cdot\frac23}=\frac2{27}.$$

Sprowadzamy czynniki do wspólnych podstaw.

a) $2^{16}\cdot2^{-9}=2^7=128$.

b) $(5^{-3})^2\cdot5^3=5^{-3}=\frac1{125}$.

c) $\frac{2^{15}3^{15}}{(2\cdot3)^{15}}=1$.

d) $2^{-3-4+5+3}3^{-3+4}=2\cdot3=6$.

e) $2\cdot2^{\frac43}:2^{\frac13}=2^2=4$.

f) Po redukcji potęg $3$ wykładnik potęgi $2$ wynosi $\frac34+\frac12+\frac34=2$, więc wynik to $4$.

g) $(\frac52)^{-6}(\frac25)^3=(\frac25)^9$.

h) $\frac{2^4 7^4}{2^5 7^3}=\frac72$.

Zamieniamy rozwinięcia okresowe na ułamki zwykłe.

a) Mamy

0{,}(037)=\frac{37}{999}=\frac1{27}.$$ Zatem $$\sqrt{\frac{16}{9}}+\sqrt[3]{\frac1{27}} =\frac43+\frac13=\frac53.$$ **b)** $$0{,}(296)=\frac{296}{999}=\frac8{27},\qquad 0{,}(3)=\frac13,$$ więc $$\left(\frac8{27}\right)^{\frac13}=\frac23.$$