MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 55

Mamy

$p+q=8+\sqrt3+\sqrt5.$

a) Możemy przyjąć $r=0$. Wtedy średnia jest równa

$\frac{8+\sqrt3+\sqrt5}{3}.$

Liczba $\sqrt3+\sqrt5$ jest niewymierna. Gdyby była wymierna, to po podniesieniu do kwadratu liczba

$(\sqrt3+\sqrt5)^2=8+2\sqrt{15}$

byłaby wymierna, co wymuszałoby wymierność $\sqrt{15}$ — sprzeczność. Wybrana średnia jest więc niewymierna.

b) Przyjmijmy

$r=-\sqrt3-\sqrt5.$

Wtedy

$\frac{p+q+r}{3}=\frac83,$

czyli średnia jest wymierna.

a) Nierówność jest równoważna układowi

$\frac{\sqrt{1000}}2<n<\sqrt{1000}.$

Ponieważ $\sqrt{1000}\approx31{,}62$, mamy

$15{,}81<n<31{,}62.$

Zatem $n$ może być każdą liczbą naturalną od $16$ do $31$.

b) Z nierówności

$\frac n3<\sqrt{33}<\frac n2$

otrzymujemy

$2\sqrt{33}<n<3\sqrt{33}.$

Ponieważ $2\sqrt{33}\approx11{,}49$ i $3\sqrt{33}\approx17{,}23$, dostajemy liczby naturalne od $12$ do $17$.

a)

$\frac{\sqrt3}{3}x=7\sqrt6,$

$x=7\sqrt6\cdot\frac3{\sqrt3}=21\sqrt2.$

b) Ponieważ $2\sqrt{12}=4\sqrt3$ i $\sqrt{108}=6\sqrt3$, równanie przyjmuje postać

$4\sqrt3=\sqrt3x-6\sqrt3.$

Stąd $\sqrt3x=10\sqrt3$, więc $x=10$.

c) Po zastąpieniu $2\sqrt{12}$ przez $4\sqrt3$ otrzymujemy

$4\sqrt3x=108-2\sqrt3x.$

Zatem

$6\sqrt3x=108,$

$x=\frac{18}{\sqrt3}=6\sqrt3.$

a)

$x=5\sqrt5=\sqrt{125},\qquad y=\sqrt{120}.$

Ponieważ $125>120$, mamy $x>y$.

b)

$x=\sqrt{4000}=20\sqrt{10},\qquad y=19{,}5\sqrt{10},$

więc $x>y$.

c)

$x=\sqrt7+\sqrt{63}=\sqrt7+3\sqrt7=4\sqrt7,$

$y=\sqrt{150}-\sqrt6=5\sqrt6-\sqrt6=4\sqrt6.$

Ponieważ $\sqrt7>\sqrt6$, mamy $x>y$.

d)

$x=\sqrt{800}-\sqrt{50}=20\sqrt2-5\sqrt2=15\sqrt2,$

$y=\sqrt{98}+\sqrt{162}=7\sqrt2+9\sqrt2=16\sqrt2.$

Zatem $x<y$.

Załóżmy przeciwnie, że dla dodatnich $x$ i $y$ zachodzi

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}.$

Obie strony są dodatnie, więc możemy podnieść je do kwadratu:

$x+y+2\sqrt{xy}=x+y.$

Stąd $2\sqrt{xy}=0$, czyli $xy=0$. Jest to niemożliwe, ponieważ $x>0$ i $y>0$. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że podana równość nie zachodzi.

Dla $x=\frac18$ mamy $3x=\frac38$ i $4x=\frac12$.

a)

$\sqrt{3x+\frac34}=\sqrt{\frac38+\frac68}=\sqrt{\frac98}=\frac{3\sqrt2}{4},$

$\sqrt[3]{3+3x}=\sqrt[3]{3+\frac38}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac32,$

$\frac32\sqrt{1-4x}=\frac32\sqrt{\frac12}=\frac{3\sqrt2}{4}.$

Pierwszy i trzeci składnik się redukują, więc wartość wyrażenia wynosi $\frac32$.

b)

$\sqrt{x\sqrt[3]x}=\sqrt{\frac18\cdot\frac12}=\sqrt{\frac1{16}}=\frac14,$

$\sqrt[3]{2x\sqrt{2x}}=\sqrt[3]{\frac14\cdot\frac12}=\sqrt[3]{\frac18}=\frac12.$

Zatem

$\frac14-\frac12=-\frac14.$

a) Ponieważ $1\frac79=\frac{16}{9}$,

$0{,}3\sqrt{1\frac79}=\frac3{10}\cdot\frac43=\frac25,$

a ponadto

$\frac1{\sqrt3}\sqrt{108}=\sqrt{\frac{108}{3}}=6.$

Suma wynosi $6+\frac25=\frac{32}{5}=6{,}4$.

b)

$\sqrt{72}+\sqrt{18}-\sqrt{162}=6\sqrt2+3\sqrt2-9\sqrt2=0.$

c)

$\sqrt{12}+3\sqrt{75}-\sqrt{300}=2\sqrt3+15\sqrt3-10\sqrt3=7\sqrt3.$

d)

=6\sqrt[3]2+6-4\sqrt[3]2 =6+2\sqrt[3]2.$$ **e)** $$\sqrt[5]{16}\cdot\sqrt[5]{50}\cdot\sqrt[5]{125} =\sqrt[5]{16\cdot50\cdot125} =\sqrt[5]{100\,000}=10.$$ **f)** $$\sqrt[3]{3\sqrt3}=\sqrt[3]{3^{3/2}}=3^{1/2}=\sqrt3.$$ **g)** Ponieważ $\sqrt[3]{128}=4\sqrt[3]2$, $$\sqrt[3]4\left(\sqrt[3]2+\sqrt[3]{128}\right) =\sqrt[3]4\cdot5\sqrt[3]2 =5\sqrt[3]8=10.$$ **h)** $$\frac{\sqrt{27}+\sqrt{192}-\sqrt{108}}{\sqrt{75}} =\frac{3\sqrt3+8\sqrt3-6\sqrt3}{5\sqrt3} =1.$$