MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 54

a) Każdą liczbę parzystą można zapisać jako $2k$, a nieparzystą jako $2l+1$. Ich suma jest równa

$2k+(2l+1)=2(k+l)+1,$

więc jest nieparzysta.

b) Cztery kolejne liczby nieparzyste mają postać $2n+1$, $2n+3$, $2n+5$, $2n+7$. Ich suma wynosi

$8n+16=8(n+2),$

więc jest podzielna przez $8$.

c) Pięć kolejnych liczb parzystych ma postać $2n$, $2n+2$, $2n+4$, $2n+6$, $2n+8$. Ich suma to

$10n+20=10(n+2),$

zatem jest podzielna przez $10$.

d) Suma pięciu kolejnych liczb naturalnych jest równa

$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2),$

więc jest podzielna przez $5$.

a)

$\frac78=\frac{7\cdot125}{8\cdot125}=\frac{875}{1000}=0{,}875.$

b)

$\frac{24}{25}=\frac{24\cdot4}{25\cdot4}=\frac{96}{100}=0{,}96.$

c)

$\frac{111}{250}=\frac{111\cdot4}{250\cdot4}=\frac{444}{1000}=0{,}444.$

d)

$\frac{13}{40}=\frac{13\cdot25}{40\cdot25}=\frac{325}{1000}=0{,}325.$

Zamieniamy rozwinięcia okresowe na ułamki.

a)

$0,(2)+0,(98)=\frac29+\frac{98}{99}=\frac{22+98}{99}=\frac{40}{33}=1,(21).$

b) Ponieważ $0,(9)=1$ oraz $0,(1)=\frac19$,

$0,(9)+0,(1)=1+\frac19=\frac{10}{9}=1,(1).$

c)

$3,(13)-1,(46)=\frac{310}{99}-\frac{145}{99}=\frac{165}{99}=\frac53=1,(6).$

d) Mamy $0{,}2(7)=\frac5{18}$, zatem

$0,(2)+0{,}2(7)=\frac29+\frac5{18}=\frac12=0{,}5.$

e)

$6\cdot1,(3)+0,(3)=6\cdot\frac43+\frac13=8+\frac13=8,(3).$

f) Ponieważ $0{,}1(5)=\frac7{45}$ i $0{,}4(5)=\frac{41}{90}$,

$5\cdot0{,}1(5)-0{,}4(5)=5\cdot\frac7{45}-\frac{41}{90}=\frac{29}{90}=0{,}3(2).$

Po dwóch cyfrach części nieokresowej powtarza się blok pięciocyfrowy $21ab5$. Dla miejsca $m\ge3$ położenie cyfry w okresie wyznacza reszta z dzielenia $m-3$ przez $5$.

a) Dla $m=15$ mamy $15-3=12$, a reszta z dzielenia przez $5$ wynosi $2$, więc na tym miejscu stoi cyfra $a$. Zatem $a=3$.

Dla $m=31$ mamy $31-3=28$, a reszta wynosi $3$, więc na tym miejscu stoi cyfra $b$. Zatem $b=4$. Otrzymujemy liczbę $3{,}51(21345)$.

b) Na miejscu $34$ stoi druga cyfra okresu, czyli $1$. Na miejscu $25$ stoi cyfra $a$, a na miejscu $21$ cyfra $b$.

Cyfra na miejscu $34$ jest dwa razy mniejsza od cyfry na miejscu $25$, więc $a=2$. Jest też trzy razy mniejsza od cyfry na miejscu $21$, więc $b=3$. Otrzymujemy liczbę $3{,}51(21235)$.

a) Dzielniki właściwe liczby $28$ to $1,2,4,7,14$, a

$1+2+4+7+14=28.$

Liczba $28$ jest doskonała.

b) Dzielniki właściwe liczby $30$ to $1,2,3,5,6,10,15$, a ich suma wynosi

$1+2+3+5+6+10+15=42\ne30.$

Liczba $30$ nie jest doskonała.

c) Dzielniki właściwe liczby $120$ to

$1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60.$

Ich suma wynosi $240\ne120$, więc $120$ nie jest liczbą doskonałą.

d) Dzielniki właściwe liczby $496$ to $1,2,4,8,16,31,62,124,248$, a

$1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.$

Liczba $496$ jest doskonała.

Suma cyfr liczby $123x$ wynosi $1+2+3+x=6+x$.

a) Podzielność przez $3$ wymaga, aby $6+x$ było wielokrotnością $3$. Stąd

$x\in\{0,3,6,9\}.$

b) Liczba jest podzielna przez $5$, gdy jej ostatnią cyfrą jest $0$ albo $5$:

$x\in\{0,5\}.$

c) Podzielność przez $6$ wymaga jednocześnie podzielności przez $2$ i przez $3$. Cyfra $x$ musi być parzysta i należeć do zbioru z podpunktu a, więc

$x\in\{0,6\}.$

d) Dla podzielności przez $9$ suma $6+x$ musi być wielokrotnością $9$. Jedyną możliwością jest $6+x=9$, czyli $x=3$.