MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 53

Niech kwota początkowa będzie równa $K$. Odsetki brutto wynoszą

$K\cdot\frac r{100}.$

Po potrąceniu podatku w wysokości $p\%$ pozostaje z nich część $1-\frac p{100}$, czyli

=K\cdot\frac{r\left(1-\frac p{100}\right)}{100}.$$ Jest to dokładnie $r\left(1-\frac p{100}\right)\%$ kwoty $K$.

Do zakupu mikrofonu brakowało Pawłowi

$500-450=50\ \mathrm{zł}.$

Niech $r\%$ będzie oprocentowaniem lokaty. Odsetki brutto od $1000\ \mathrm{zł}$ wynoszą $10r$ zł, a po potrąceniu podatku zostaje

$0{,}8\cdot10r=8r\ \mathrm{zł}.$

Potrzebujemy więc

$8r\ge50,$

czyli

$r\ge6{,}25.$

Niech $M$ i $J$ oznaczają kwoty zainwestowane odpowiednio przez Marcina i Jerzego. Wzrost ceny akcji mnoży wartość obu inwestycji przez ten sam współczynnik $k>0$.

Marcin otrzymał ze sprzedaży $80\%$ swoich akcji kwotę $0{,}8kM$, a Jerzy ze sprzedaży $75\%$ swoich akcji kwotę $0{,}75kJ$. Z warunku zadania

$0{,}8kM=2{,}4\cdot0{,}75kJ.$

Po skróceniu przez $k$:

$0{,}8M=1{,}8J,$

$M=2{,}25J.$

Ponadto $M+J=32\,500$, zatem

$3{,}25J=32\,500,$

$J=10\,000,\qquad M=22\,500.$

Kapitał pana Kowalskiego po roku wyniósł

$5000\cdot1{,}0505=5252{,}50\ \mathrm{zł}.$

Kapitał pana Nowaka był dwa razy powiększany o $2{,}5\%$:

$5000\cdot1{,}025^2=5253{,}125\ \mathrm{zł}\approx5253{,}13\ \mathrm{zł}.$

Druga kwota jest większa o $0{,}625\ \mathrm{zł}$, czyli po zaokrągleniu o $0{,}63\ \mathrm{zł}$.

Przy pozostawianiu odsetek na lokacie kapitał po trzech latach wynosi

$4000\cdot1{,}04^3=4499{,}456\ \mathrm{zł}\approx4499{,}46\ \mathrm{zł}.$

Przy corocznym wypłacaniu odsetek ich roczna kwota jest stała:

$4000\cdot0{,}04=160\ \mathrm{zł}.$

Po trzech latach oszczędności obejmowałyby kapitał $4000\ \mathrm{zł}$ i wypłacone odsetki $3\cdot160\ \mathrm{zł}$, razem

$4000+480=4480\ \mathrm{zł}.$

Różnica wynosi

$4499{,}456-4480=19{,}456\ \mathrm{zł}\approx19{,}46\ \mathrm{zł}.$

Niech $K$ oznacza początkową inwestycję. Kolejne zmiany wartości rachunku odpowiadają mnożeniu przez $1{,}05$, $0{,}955$ i $1{,}06$. Zatem

$K\cdot1{,}05\cdot0{,}955\cdot1{,}06=2125{,}83.$

Ponieważ

$1{,}05\cdot0{,}955\cdot1{,}06=1{,}062915,$

to

$K=\frac{2125{,}83}{1{,}062915}=2000.$

Niech $x$ oznacza szukaną stopę zmiany w postaci dziesiętnej. Trzy wzrosty mnożyły cenę przez $(1+x)^3$, a trzy spadki przez $(1-x)^3$. Otrzymujemy

$51\,200(1+x)^3(1-x)^3=21\,600.$

Stąd

$(1-x^2)^3=\frac{21\,600}{51\,200}=\frac{27}{64}.$

Pierwiastkując obie strony:

$1-x^2=\frac34,$

$x^2=\frac14.$

Ponieważ $x>0$, mamy $x=\frac12=50\%$.

Po $n$ latach kapitał jest równy $K\cdot1{,}055^n$. Ma być większy niż $150\%$ kapitału początkowego, więc

$1{,}055^n>1{,}5.$

Dla kolejnych granicznych lat otrzymujemy

$1{,}055^7\approx1{,}4547<1{,}5,$

$1{,}055^8\approx1{,}5347>1{,}5.$

Najmniejszą liczbą lat jest zatem $8$.