MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 52

Niech $r$ oznacza oprocentowanie zapisane w postaci dziesiętnej. Roczne odsetki spełniają równanie

$9000r=225.$

Stąd

$r=\frac{225}{9000}=0{,}025=2{,}5\%.$

Niech $r$ oznacza roczną stopę oprocentowania w postaci dziesiętnej. Po dwóch kapitalizacjach kapitał wynosi

$6000(1+r)^2=6000+365{,}40=6365{,}40.$

Dzielimy równanie przez $6000$:

$(1+r)^2=1{,}0609.$

Ponieważ $1+r>0$,

$1+r=\sqrt{1{,}0609}=1{,}03,$

czyli $r=0{,}03=3\%$.

Niech $K$ oznacza początkowe oszczędności Bolka. Odsetki za pierwszy rok stanowiły $8\%$ tej kwoty, zatem

$0{,}08K=20.$

Stąd

$K=\frac{20}{0{,}08}=250.$

Co roku dziadek powiększał zebraną kwotę o $25\%$, czyli mnożył ją przez $1{,}25$. Po pięciu latach miał

$500\cdot1{,}25^5=1525{,}87890625\ \mathrm{zł}.$

Po zaokrągleniu do pełnego złotego otrzymujemy $1526\ \mathrm{zł}$.

Przy wypłacaniu odsetek co roku kapitał pozostawał równy $10\,000\ \mathrm{zł}$. Roczne odsetki wynosiły

$10\,000\cdot0{,}02=200\ \mathrm{zł},$

więc w ciągu czterech lat zysk wyniósł

$4\cdot200=800\ \mathrm{zł}.$

Gdyby odsetki pozostawały na lokacie, po czterech kapitalizacjach kwota wyniosłaby

$10\,000\cdot1{,}02^4=10\,824{,}3216\ \mathrm{zł},$

a zysk $824{,}3216\ \mathrm{zł}$. Różnica zysków jest równa

$824{,}3216-800=24{,}3216\ \mathrm{zł}\approx24{,}32\ \mathrm{zł}.$

Podatek pozostawia $80\%$ naliczonych odsetek.

W pierwszej ofercie efektywne oprocentowanie netto za rok wynosi

$2{,}5\%\cdot0{,}8=2\%.$

Po roku otrzymamy więc

$5000\cdot1{,}02=5100\ \mathrm{zł}.$

W drugiej ofercie oprocentowanie za każde półrocze wynosi $1\%$ brutto, czyli $0{,}8\%$ netto. Po dwóch kapitalizacjach otrzymamy

$5000\cdot1{,}008^2=5080{,}32\ \mathrm{zł}.$

Niech $K$ będzie kwotą wpłaconą do banku A, a $r$ roczną stopą oprocentowania w postaci dziesiętnej. Do banku B wpłacono $0{,}99K$.

W banku A po opodatkowaniu pozostaje $80\%$ odsetek, więc kapitał po roku to

$K(1+0{,}8r).$

W banku B kapitał po roku wynosi

$0{,}99K(1+r).$

Z warunku równości kapitałów:

$1+0{,}8r=0{,}99(1+r).$

Zatem

$0{,}01=0{,}19r,$

$r=\frac1{19}\approx0{,}05263=5{,}263\%.$

Po zaokrągleniu do $1\%$ otrzymujemy $5\%$.

Niech $x$ oznacza kwotę wpłaconą do banku A. Do banku B wpłacono wtedy $10\,000-x$ zł. Równość odsetek daje równanie

$0{,}014x=0{,}011(10\,000-x).$

Po uporządkowaniu:

$0{,}025x=110,$

$x=4400.$

Do banku B wpłacono

$10\,000-4400=5600\ \mathrm{zł}.$