MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 46

Podstawa logarytmu musi spełniać $x>0$ i $x\ne1$. Korzystamy z równoważności $\log_xu=r\iff x^r=u$.

a) $x^4=16=2^4$, zatem $x=2$.

b) $x^{2/3}=\frac9{100}=(\frac3{10})^2$, zatem $x=(\frac3{10})^3=\frac{27}{1000}$.

c) $x^{-4/5}=2^{-4}$, zatem $x=2^5=32$.

d) $x^{1/4}=5^{1/2}$, zatem $x=5^2=25$.

e) $2\sqrt8=2^{5/2}$, więc $x^5=2^{5/2}$ i $x=\sqrt2$.

f) $x^{-2}=\frac1{12}$, więc $x^2=12$; warunek $x>0$ daje $x=2\sqrt3$.

Rozkładamy argumenty na potęgi $2$ i $3$.

a) $\log36=\log(2^2\cdot3^2)=2x+2y$.

b) $\log54=\log(2\cdot3^3)=x+3y$.

c) $\log1{,}5=\log\frac32=y-x$.

d) $1\frac18=\frac98=\frac{3^2}{2^3}$, więc $\log\frac98=2y-3x$.

Z założenia $a=2^7$. Dla każdego dodatniego $k$ występującego w zadaniu

Podstawiając kolejno $k=3,5,11$, otrzymujemy za każdym razem $7$.

Z definicji logarytmu $a=5^2$ oraz $b=7^2$. Stąd

a więc $\log_{35}(ab)=2$.

Liczba dodatnia ma $26$ cyfr wtedy i tylko wtedy, gdy jest nie mniejsza od $10^{25}$ i mniejsza od $10^{26}$. Potęga $11^n$ miałaby zatem $26$ cyfr tylko przy $25\leq\log(11^n)=n\log11<26.$ Dla $n\leq24$ mamy $n\log11\leq24\cdot1{,}04139=24{,}99336<25,$ więc $11^n$ ma najwyżej $25$ cyfr. Dla $n\geq25$ natomiast $n\log11\geq25\cdot1{,}04139=26{,}03475>26,$ więc $11^n$ ma co najmniej $27$ cyfr. Nie ma naturalnego wykładnika pomiędzy $24$ a $25$, zatem potęga o $26$ cyfrach nie istnieje.

Rozpatrujemy wartości, dla których wszystkie logarytmy są określone: $a,b,c>0$, $a,b,c\ne1$ oraz $abc\ne1$. Ponieważ

i analogicznie dla podstaw $b$ i $c$, lewa strona jest równa $(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1.$ Prawa strona także wynosi

Obie strony są więc równe.