MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 45

a) $\left(3^{-1}\right)^{2\log_3 2}=3^{-\log_3 4}=\frac14$.

b) $8^{\log_2 3-1}=2^{3\log_2 3-3}=\frac{3^3}{2^3}=\frac{27}{8}$.

c) Ponieważ $\log_{1/3}2=-\log_3 2$, $27^{-2\log_{1/3}2}=3^{6\log_3 2}=2^6=64.$

d) $(2^{1/2})^{4+\log_2 3}=2^2\cdot2^{\frac12\log_2 3}=4\sqrt3$.

e) $\log_{32}3=\frac15\log_2 3$, więc $16^{\log_{32}3}=2^{\frac45\log_2 3}=3^{4/5}=\sqrt[5]{81}.$

f) $0{,}125=2^{-3}$ i $\log_{1/2}5=-\log_2 5$, zatem $(2^{-3})^{-\log_2 5}=2^{3\log_2 5}=125.$

$x=\log_{2^2}2^3=\frac32.$ Z $\log_y2=-\frac12$ wynika $y^{-1/2}=2$, czyli $y=\frac14$. Ponadto $z=16^{-3/4}=(2^4)^{-3/4}=\frac18.$ Mamy zatem $z<y<x$.

Ponieważ $\frac13=3^{-1}$, z własności logarytmu potęgi otrzymujemy

Suma rozważanych liczb jest więc równa zeru, a zatem są one przeciwne.

a) $\log_2\frac13=-\log_2 3=-a$.

b) $\log_2 12=\log_2(4\cdot3)=2+a$.

c) $\log_2\frac1{24}=-\log_2(8\cdot3)=-3-a$.

d) $\log_2(3\sqrt2)=\log_2 3+\log_2 2^{1/2}=a+\frac12$.

Obliczamy iloraz $x/y$.

a) $\frac{\log10^4}{\log10^2}=\frac42=2$.

b) $\frac{\log2^7}{\log2^3}=\frac73$.

c) $\frac{\log_3 10^2}{\log_3 10}=2$.

d) $\frac{\log_5 2^7}{\log_5 2^3}=\frac73$.

Stosujemy $\log_a u^r=r\log_a u$.

a) $x\log_5 3=2\log_5 3$, więc $x=2$.

b) $x\log_7 6=3\log_7 6$, więc $x=3$.

c) $3x\log_3 2=15\log_3 2$, więc $x=5$.

d) $\frac14\log_2 3=x\log_2 3$, więc $x=\frac14$.

e) $2x\log_7 2=\frac13\log_7 2$, więc $x=\frac16$.

f) $\frac45\log_5 3=2x\log_5 3$, więc $x=\frac25$.

a) $\frac{3\log_{11}2}{\log_{11}(1/2)}=\frac{3\log_{11}2}{-\log_{11}2}=-3.$

b) Licznik wynosi $2\log2^2-\log2^{-2}=6\log2$, a mianownik $\log(16/8)=\log2$, więc iloraz to $6$.

c) $\frac{\log_7 4}{2\log_7 2}=\frac{2\log_7 2}{2\log_7 2}=1.$

d) Ponieważ $1=\log_{24}24$, $\frac{\log_{24}(24/3)}{\log_{24}2}=\frac{\log_{24}8}{\log_{24}2}=3.$