MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 44

Korzystamy z definicji logarytmu i zapisujemy argumenty jako potęgi odpowiedniej podstawy:

a) $10000=10^4$, zatem $\log10000=4$.

b) $0{,}001=10^{-3}$, zatem $\log0{,}001=-3$.

c) $10\sqrt{10}=10^{1+\frac12}=10^{\frac32}$, więc $\log(10\sqrt{10})=\frac32$.

d) $\sqrt{0{,}1}=\sqrt{10^{-1}}=10^{-\frac12}$, więc $\log\sqrt{0{,}1}=-\frac12$.

e) $1=100^0$, stąd $\log_{100}1=0$.

f) $0{,}01=100^{-1}$, stąd $\log_{100}0{,}01=-1$.

Sprowadzamy argumenty do potęg liczby $5$:

a) $25=5^2$, więc wynik to $2$.

b) $\frac15=5^{-1}$, więc wynik to $-1$.

c) $0{,}04=\frac1{25}=5^{-2}$, więc wynik to $-2$.

d) $\frac1{125}=5^{-3}$, więc wynik to $-3$.

e) $\sqrt5=5^{1/2}$, więc wynik to $\frac12$.

f) $\sqrt[3]5=5^{1/3}$, więc wynik to $\frac13$.

g) $\sqrt[5]5=5^{1/5}$, więc wynik to $\frac15$.

h) $\frac1{5\sqrt5}=5^{-3/2}$, więc wynik to $-\frac32$.

Obliczamy wartości kolejnych liczb:

$$\log_{\sqrt5}(25\sqrt5)=\log_{5^{1/2}}5^{5/2}=5, \qquad \log_5 625=4,$$ $$\log_{0{,}5}\frac12=1, \qquad \log_{0{,}5}1=0, \qquad \log_{1/2}0{,}125=\log_{1/2}\frac18=3.$$

Porządek wartości to $0<1<3<4<5$.

a) $\log_{1/4}2=-\frac12$ i $\log_2\frac14=-2$, więc suma wynosi $-\frac52$.

b) $\log_{1/3}9=-2$ i $\log_3\frac19=-2$, więc suma wynosi $-4$.

c) $\log_{1/5}\frac1{25}=2$ i $\log_5 5=1$, więc różnica wynosi $1$.

d) $\log_{36}\frac16=-\frac12$, a $\log_{1/6}6=-1$, zatem $-\frac12-(-1)=\frac12$.

e) $\log_{\sqrt2}4=4$ oraz $\log_2\sqrt[3]4=\frac23$, więc iloczyn wynosi $\frac83$.

f) $\log_{1/2}\sqrt2=-\frac12$, a $\log_4 8=\frac32$, więc iloraz wynosi $-\frac13$.

Korzystamy ze wzorów na logarytm iloczynu i ilorazu:

a) $\log_6(2\cdot18)=\log_6 36=2$.

b) $\log(4\cdot25)=\log100=2$.

c) $\log_3\left(4\cdot\frac34\right)=\log_3 3=1$.

d) $\log_2\frac{20}{10}=\log_2 2=1$.

e) $\log_{1/6}\frac{42}{7}=\log_{1/6}6=-1$.

f) $\log_{\sqrt3}\frac{54}{2}=\log_{\sqrt3}27=\log_{3^{1/2}}3^3=6$.

Zapisujemy argument każdego logarytmu jako potęgę jego podstawy:

a) $\log_2 2^7=7$.

b) $\log_3 3^{-2}=-2$.

c) $25^{-1}=5^{-2}$, więc wynik to $-2$.

d) $4^{-5}$ daje wynik $-5$.

e) $0{,}1^6=10^{-6}$, więc wynik to $-6$.

f) $(\sqrt2)^7=2^{7/2}$, więc wynik to $\frac72$.

g) $\sqrt{1/3}=3^{-1/2}$, więc wynik to $-\frac12$.

h) $\sqrt[5]8=2^{3/5}=(1/2)^{-3/5}$, więc wynik to $-\frac35$.

i) $8\sqrt2=2^{7/2}=(1/2)^{-7/2}$, więc wynik to $-\frac72$.

j) $11\sqrt{11}=11^{3/2}$, więc wynik to $\frac32$.

k) Od środka: $\sqrt{2}=2^{1/2}$, $\sqrt{2\sqrt2}=2^{3/4}$, zatem $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt2}}=2^{7/8}$. Wynik to $\frac78$.

l) $2\sqrt3=\sqrt{12}$, a $\frac1{12}=(\sqrt{12})^{-2}$, więc wynik to $-2$.