MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 43

Uwzględniamy parzystość stopnia pierwiastka i zakaz dzielenia przez zero.

a) $a^{-\frac12}=1/\sqrt a$, więc $a>0$. b) Pierwiastek trzeciego stopnia dopuszcza każdy $a\in\mathbb R$. c) Musi być $2-a\geq0$, czyli $a\leq2$. d) $0{,}4=\frac25$ ma nieparzysty mianownik, więc dopuszczalne jest każde $a\in\mathbb R$. e) Mianownik $(a-3)^{\frac52}$ wymaga $a-3>0$, więc $a>3$.

a) Ponieważ $\sqrt[3]3<\sqrt[3]5$, pierwszy nawias jest ujemny. Ponieważ $0<0{,}4^{\frac27}<1$, drugi nawias także jest ujemny. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

b) Niech $t=1{,}3^{0{,}2}>1$. Wtedy

=\frac{t-1}{(t-1)/t}=t>0.$$

a) Podnosimy dodatnie liczby do potęgi $48$: $(8^{\frac18})^{48}=8^6<7^8=(7^{\frac16})^{48}$.

b) $2\sqrt3<3\sqrt2$, bo po podniesieniu do kwadratu $12<18$. Potęga $\frac32$ jest rosnąca.

c) Po podniesieniu do szóstej potęgi otrzymujemy: $(6^{\frac16})^6=6$, $(2^{\frac12})^6=8$ oraz $(3^{\frac13})^6=9$.

a) Podstawa $\frac94>1$, więc kolejność wartości jest taka jak kolejność wykładników: $\frac15>\frac1{12}>-\frac1{10}.$

b) Mamy $\sqrt{0{,}3}>0{,}3=(\frac{10}{3})^{-1}$, a $0{,}3>(0{,}3)^4$.

Jest to wzór na różnicę kwadratów:

$$(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b) =(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=a-b.$$

Założenia $a,b>0$ gwarantują istnienie obu pierwiastków.

W liczniku rozpoznajemy różnicę kwadratów i skracamy wspólny czynnik.

a)

=5-2^{\frac16}.$$ **b)** $$\frac{(\sqrt3)^2-(\sqrt[4]5)^2}{\sqrt3+\sqrt[4]5} =\sqrt3-\sqrt[4]5.$$ **c)** $$\frac{(\sqrt[4]7)^2-(\sqrt[4]5)^2} {\sqrt[4]7+\sqrt[4]5} =\sqrt[4]7-\sqrt[4]5.$$

Zaczynamy od dwóch ostatnich czynników i wielokrotnie stosujemy $(1+u)(1-u)=1-u^2$:

$$(1+\sqrt[1024]a)(1-\sqrt[1024]a)=1-\sqrt[512]a.$$

Po pomnożeniu przez kolejne czynniki otrzymujemy kolejno $1-\sqrt[256]a,\ldots,1-\sqrt a$, a na końcu $(1+\sqrt a)(1-\sqrt a)=1-a$. Dla $a=2020$ jest to $1-2020=-2019$.

Zapisujemy pierwiastki jako potęgi i liczymy wykładnik od środka.

a) Kolejne wykładniki pod pierwiastkami to $\frac12,\frac34,\frac78$, więc całość ma wykładnik $1+\frac78=\frac{15}{8}$.

b) $x\sqrt{x\sqrt[3]x} =x\cdot x^{\frac23}=x^{\frac53}$.

c) Wewnętrzny iloczyn ma wykładnik $\frac32$; po pierwiastku sześciennym daje $\frac12$. Powtórzenie tego kroku i zewnętrzny czynnik dają $x^{\frac32}$.

d) Licznik ma wykładnik $(1+\frac13)\frac14=\frac13$, a mianownik $(1+\frac15)\frac16=\frac15$. Iloraz ma więc wykładnik $\frac13-\frac15=\frac2{15}$.

Liczymy wykładnik od środka:

$$\sqrt{n\sqrt{n\sqrt n}} =n^{\frac12(1+\frac12(1+\frac12))} =n^{\frac78}.$$

Jeśli $n=k^8$ dla pewnej liczby naturalnej $k$, to wartość wyrażenia wynosi $(k^8)^{\frac78}=k^7$, czyli jest naturalna. Przykładowo dla $k=0,1,2,3$ dostajemy $n=0,1,256,6561$.