MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 42

W liczniku wykładnik wynosi $\frac12+\frac52=3$, a w mianowniku $\frac3{14}\cdot7=\frac32$. Zatem $\left(a^{3-\frac32}\right)^{-1}=a^{-\frac32}.$ Dla $a=0{,}25=\frac14$ otrzymujemy $\left(\frac14\right)^{-\frac32}=4^{\frac32}=8.$

a)

a) Prawa strona ma postać $2^{\frac73-2-\frac56}=2^{-\frac12}.$ Stąd $x\cdot2^{-\frac23}=2^{-\frac12}$, więc $x=2^{\frac16}$.

b) Lewa strona upraszcza się do $\frac1{x-3}$, bo $125^{\frac12}=(\sqrt[4]{25})^3=5^{\frac32}$. Prawa strona jest równa $\frac{5\cdot5^{-4}}{(1/5)^3}=1.$ Zatem $\frac1{x-3}=1$ i $x=4$.

a) Redukcja wykładników daje

Korzystamy z $0{,}(3)=\frac13$, $1{,}(3)=\frac43$, $0{,}(6)=\frac23$, $0{,}(4)=\frac49$ oraz $0{,}1(6)=\frac16$.

a) $8^{\frac13}=2$. b) $27^{\frac43}=3^4=81$. c) $(1000^{\frac12})^{\frac23}=1000^{\frac13}=10$. d) $(\frac49)^{\frac13+\frac16} =(\frac49)^{\frac12}=\frac23$.

Skracamy wykładnik i zapisujemy go jako wykładnik pierwiastka:

a) $3^{\frac23}=\sqrt[3]9$; b) $2^{\frac15}=\sqrt[5]2$; c) $(\frac17)^{-\frac13}=\sqrt[3]7$; d) $(10^{-2})^{-\frac1{100}}=10^{\frac1{50}} =\sqrt[50]{10}$; e) $2^{\frac14}=\sqrt[4]2$; f) $2^{\frac16}=\sqrt[6]2$; g) $2^{\frac12+\frac14}=2^{\frac34}=\sqrt[4]8$; h) $2^{\frac23}=\sqrt[3]4$.

Porównujemy wykładniki po sprowadzeniu stron do wspólnej podstawy.

a) $2w-1=2$, więc $w=\frac32$.

b) $5w+1=\frac{w-4}{2}$, zatem $10w+2=w-4$ i $w=-\frac23$.

c) Po pomnożeniu przez $3^w$ mamy

Funkcje $a^{\frac12}$ i $a^{\frac34}$ są rosnące dla $a>0$. Z $16\leq a<81$ otrzymujemy