MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 41

Dla $a\geq0$ pierwiastki parzystego stopnia są określone, więc:

Jeśli krawędź ma długość $k$, to $k^3=V$, zatem $k=V^{\frac13}$. Pole powierzchni wynosi $6k^2=6\left(V^{\frac13}\right)^2=6V^{\frac23}.$

a) Z równania $x^3=5$ mamy $x=\sqrt[3]5$.

b) Równanie $x^4=11$ ma dwa rozwiązania: $x=\sqrt[4]{11}$ lub $x=-\sqrt[4]{11}$.

c) Pierwiastek szóstego stopnia wymaga $x\geq0$ i wtedy $(\sqrt[6]x)^6=x$, więc pasuje każde $x\geq0$.

d) Pierwiastek siódmego stopnia istnieje dla każdego $x\in\mathbb R$ i zawsze $(\sqrt[7]x)^7=x$.

Odwracamy działania potęgowe:

a) $x=2^3=8$. b) $x=3^{\frac32}=3\sqrt3$. c) $x=3^{-5}=\frac1{243}$. d) $x=5^{-2}=\frac1{25}$. e) $x^{-\frac85+\frac{13}{5}}=x=1$.

Mnożymy kolejne wykładniki:

a) $2^{\frac12\cdot6\cdot\frac23}=2^2=4$; b) $25^{\frac34\cdot\frac13\cdot2}=25^{\frac12}=5$; c) $7^{-\frac12\cdot\frac13\cdot6}=7^{-1}=\frac17$; d) $9^{-\frac32\cdot4\cdot(-\frac13)}=9^2=81$; e) $3^{-\frac73\cdot\frac65\cdot\frac57}=3^{-2}=\frac19$; f) $3^{\frac12\cdot\frac15\cdot\frac32\cdot\frac{40}{3}} =3^2=9$.

Na skanie w podpunkcie a) wykładnik przy $12$ ma postać $\frac32$.

a)

Sprowadzamy czynniki do wspólnych podstaw:

a) $24^{\frac13}:3^{\frac13}=8^{\frac13}=2$.

b) $6^{\frac23}:6^{\frac34(-\frac{16}{9})} =6^{\frac23+\frac43}=36$.

c) $\sqrt{40}:(2{,}5^{-\frac18})^{-4} =\sqrt{40}:\sqrt{2{,}5}=\sqrt{16}=4$.

d) $0{,}25^{\frac14}:0{,}25^{-\frac14} =0{,}25^{\frac12}=0{,}5$.

e) Licznik jest równy $2$, a mianownik $(\sqrt2)^{-2}=\frac12$, więc iloraz wynosi $4$.

f) Dla $q=\frac8{27}$ wykładnik ilorazu to $\frac3{25}-\frac{34}{75}=-\frac13$, zatem $q^{-\frac13}=\frac32$.