MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 40

Korzystamy z zależności $\sqrt[n]{u^m}=u^{\frac mn}$.

a) $\sqrt3=3^{\frac12}$.

b) $\sqrt[3]{15^2}=15^{\frac23}$.

c) $\sqrt[5]2=2^{\frac15}$.

d) Ponieważ pierwiastek jest nieparzystego stopnia, $\sqrt[3]{-5}=(-5)^{\frac13}$.

e) $\sqrt[8]{7^{-5}}=7^{-\frac58}$.

f) $\sqrt[10]{0{,}1^3}=0{,}1^{\frac3{10}}$.

Rozdzielamy część całkowitą wykładnika, a ujemny wykładnik przenosimy do mianownika:

a) $3^{\frac32}=3\sqrt3$;

b) $8^{\frac25}=2^{\frac65}=2\sqrt[5]2$;

c) $7^{-\frac34}=\sqrt[4]{\frac1{343}}$;

d) $0{,}3^{0{,}3}=\sqrt[10]{0{,}3^3}=\sqrt[10]{0{,}027}$;

e) $5^{-0{,}25}=\sqrt[4]{\frac15}$;

f) $2^{-2\frac12}=\frac1{4\sqrt2} =\frac14\sqrt{\frac12}$.

Zamieniamy każdy pierwiastek na potęgę:

a) $\sqrt[3]{a^4}=a^{\frac43}$; b) $\sqrt[3]{a-b}=(a-b)^{\frac13}$; c) $\sqrt[9]{a^{-5}}=a^{-\frac59}$; d) $\sqrt[4]{ab^3}=(ab^3)^{\frac14}$.

Stosujemy $u^{\frac mn}=\sqrt[n]{u^m}$:

a) $(3a)^{\frac12}=\sqrt{3a}$; b) $3a^{\frac12}=3\sqrt a$; c) $ab^{\frac34}=a\sqrt[4]{b^3}$; d) $-a^{0{,}4}=-\sqrt[5]{a^2}$; e) $a^{\frac23}-b^{\frac23}=\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}$; f) $(a-b)^{\frac23}=\sqrt[3]{(a-b)^2}$.

Sprowadzamy podstawy do dogodnych potęg:

a) $36^{\frac12}=6$.

b) $9^{-\frac12}=\frac13$.

c) $4^{1{,}5}=4^{\frac32}=8$.

d) $0{,}16^{-\frac32}=\left(\frac25\right)^{-3} =\frac{125}{8}=15{,}625$.

e) $\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac43} =\left(\frac32\right)^4=\frac{81}{16}$.

f) $9^{2\frac12}=3^5=243$.

g) $0{,}008=5^{-3}$ i $-1{,}(3)=-\frac43$, zatem $(5^{-3})^{-\frac43}=5^4=625$.

Dla wspólnej podstawy dodajemy wykładniki przy mnożeniu i odejmujemy je przy dzieleniu:

a) $2^{\frac34+\frac14}=2$; b) $9^{\frac13+\frac16}=9^{\frac12}=3$; c) $8^{1\frac13+1\frac23}=8^3=512$; d) $0{,}01^{-0{,}35+0{,}85}=0{,}01^{\frac12}=0{,}1$; e) $25^{\frac12}=5$; f) $7^{1{,}25-\frac14}=7$; g) $100^{-\frac12}=0{,}1$; h) $81^{-\frac23+\frac{11}{12}}=81^{\frac14}=3$.

Mnożymy wykładniki kolejnych potęg:

a) $5^{\frac23\cdot3}=5^2=25$; b) $7^{\frac32\cdot(-\frac23)}=7^{-1}=\frac17$; c) $64^{-\frac58\cdot\frac45}=64^{-\frac12}=\frac18$; d) $\left(\frac18\right)^{\frac5{12}\cdot(-\frac45)} =\left(\frac18\right)^{-\frac13}=2$; e) $\left(\frac23\right)^{\frac56\cdot(-\frac65)} =\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$.

Redukujemy wykładniki:

a) $a^{\frac65+\frac45}=a^2$; b) $a^{-\frac12-\frac13}=a^{-\frac56}$; c) $a^{\frac45-\frac45}=a^0$; d) $a^{-\frac{12}{5}-\frac45}=a^{-3}$; e) $a^{1-\frac47}=a^{\frac37}$; f) $a^{\frac{11}{4}-\frac{11}{4}}=a^0$; g) $a^{0{,}8\cdot2{,}5}=a^2$; h) $a^{\frac{10}{3}\cdot\frac3{10}}=a$; i) $a^{-\frac38\cdot12}=a^{-\frac92}$; j) $a^{(-\frac23)(-\frac23)}=a^{\frac49}$.

Zamieniamy pierwiastki na potęgi i mnożymy wykładniki:

a) $(4^{\frac32})^{\frac13}=4^{\frac12}=2$; b) $(125^{-2})^{\frac13}=5^{-2}=\frac1{25}$; c) $(8^{-\frac53})^{\frac15}=8^{-\frac13}=\frac12$; d) $(36^{-\frac3{10}})^{-5}=36^{\frac32}=216$.