MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 39

Krawędź $10\ \mathrm{cm}$ ma $100\ \mathrm{mm}=10^2\ \mathrm{mm}$. Objętość pudełka wynosi zatem

$$(10^2)^3=10^6\ \mathrm{mm}^3.$$

W każdym milimetrze sześciennym mieści się $80\,000=8\cdot10^4$ ziaren, więc łącznie

$10^6\cdot8\cdot10^4=8\cdot10^{10}.$

Objętość pudełka wynosi

$10\cdot8\cdot25=2000\ \mathrm{cm}^3=2\ \mathrm{dm}^3.$

Masa pustego pudełka to $2{,}5\ \mathrm{dag}=0{,}025\ \mathrm{kg}$.

a) Powietrze ma masę $2\cdot1{,}2=2{,}4\ \mathrm g=0{,}0024\ \mathrm{kg}$. Całość waży $0{,}025+0{,}0024=0{,}0274=2{,}74\cdot10^{-2}\ \mathrm{kg}.$

b) Piasek ma masę $2\cdot1{,}6=3{,}2\ \mathrm{kg}$. Całość waży $3{,}2+0{,}025=3{,}225=3{,}225\cdot10^0\ \mathrm{kg}.$

Skan potwierdza, że zadanie celowo nie podaje masy ucznia. Oznaczmy ją przez $m>0$ kilogramów. Wtedy odpowiednie stosunki wynoszą:

a) $\frac{5{,}9736\cdot10^{24}}{m}$.

b) Masa ciała w gramach to $m\cdot10^3$, zatem $\frac{m\cdot10^3}{1{,}673\cdot10^{-24}}=\frac{m}{1{,}673}\cdot10^{27}.$

c) $\frac{m}{5\cdot10^{-3}}=2m\cdot10^2.$

Po podstawieniu własnej masy każdy współczynnik należy znormalizować do przedziału $[1;10)$.

Średnica atomu wynosi $d=2\cdot10^{-10}\ \mathrm m$, a $1\ \mathrm{cm}=10^{-2}\ \mathrm m$.

a) Wzdłuż odcinka mieści się $N=\frac{10^{-2}}{2\cdot10^{-10}}=5\cdot10^7$ atomów.

b) Na powierzchni mieści się w tym modelu $N^2=(5\cdot10^7)^2=2{,}5\cdot10^{15}$ atomów.

c) W objętości mieści się $N^3=(5\cdot10^7)^3=1{,}25\cdot10^{23}$ atomów.

Liczba ma $38$ cyfr, więc jej zapis wykładniczy zaczyna się od

$3{,}141592653589\ldots\cdot10^{37}.$

a) Dokładność $10^{30}$ wymaga zachowania ośmiu cyfr znaczących. Dziewiąta cyfra to $5$, więc zaokrąglamy w górę.

b) Dokładność $10^{34}$ wymaga zachowania czterech cyfr znaczących. Piąta cyfra to $5$, więc ponownie zaokrąglamy w górę.

Ponieważ $a=x\cdot10^4$ jest zapisem wykładniczym, mamy $1\le x<10$.

a) $0{,}01a=x\cdot10^2$, więc $n=2$.

b) $a^2=x^2\cdot10^8$. Gdy $x<\sqrt{10}$, współczynnik $x^2<10$ i $n=8$; gdy $x\ge\sqrt{10}$, po normalizacji $n=9$.

c) $a^5=x^5\cdot10^{20}$. Ponieważ $1\le x^5<10^5$, po normalizacji wykładnik może wynosić $20,21,22,23$ albo $24$.

d) $\sqrt a=\sqrt x\cdot10^2$, a $1\le\sqrt x<\sqrt{10}<10$, więc $n=2$.

Ponieważ oba zapisy są wykładnicze, $1\le x,y<10$.

a) $a+b=(y+x\cdot10^{-7})\cdot10^3.$ Zwykle $n=3$, lecz gdy $y+x\cdot10^{-7}\ge10$, po normalizacji $n=4$.

b) $ab=xy\cdot10^{-1}.$ Jeśli $xy<10$, to $n=-1$; jeśli $xy\ge10$, to $n=0$.

c) $10a+b=(y+x\cdot10^{-6})\cdot10^3,$ więc $n=3$ albo, po przekroczeniu współczynnika $10$, $n=4$.

d) $0{,}1a+10b=(y+x\cdot10^{-9})\cdot10^4,$ więc $n=4$ albo, po przekroczeniu współczynnika $10$, $n=5$.