MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 36

a) $2^{26}=4^{13}>3^{13}$.

b) $10^{20}=100^{10}>20^{10}$.

c) $5^{300}=125^{100}<243^{100}=3^{500}$.

d) $0{,}3^{20}=0{,}09^{10}<0{,}1^{10}$.

e) $\left(\frac27\right)^{60}=\left(\frac4{49}\right)^{30}$, a $\frac17=\frac7{49}>\frac4{49}$.

f) $\left(\frac27\right)^{60}=\left(\frac4{49}\right)^{30}$, a $\frac19>\frac4{49}$, bo $49>36$.

Korzystamy z $(ab)^{-3}=a^{-3}b^{-3}$ oraz $\left(\frac ab\right)^{-3}=a^{-3}:b^{-3}$.

a) Przykładowe rozkłady podstawy $1000$ to $10\cdot100$, $2\cdot500$ i $5\cdot200$.

b) Przykładowe ilorazy równe $1000$ to $\frac{1000}{1}$, $\frac{2000}{2}$ i $\frac{10\,000}{10}$.

Dla $j=1,2,\ldots,10$ odpowiadające sobie czynniki wynoszą

$$\left(\frac1j\right)^{-j}=j^j, \qquad (-j)^{-j}=(-1)^j j^{-j}.$$

Ich iloczyn jest równy $(-1)^j$. Zatem

$xy=\prod_{j=1}^{10}(-1)^j=(-1)^{1+2+\cdots+10}=(-1)^{55}=-1.$

Stosujemy $(a^m)^n=a^{mn}$.

a) $(a^{-10})^{-6}=a^{60}$; potrzebne $a\ne0$.

b) $(a^{-5})^{-12}=a^{60}$; potrzebne $a\ne0$.

c) $(a^4)^{15}=a^{60}$; bez dodatkowych założeń.

d) $(a^{-30})^{-2}=a^{60}$; potrzebne $a\ne0$.

e) $(a^{-1})^{-60}=a^{60}$; potrzebne $a\ne0$.

a) $a^{n+k}=a^na^k=\frac18\cdot4=\frac12$.

b) $a^{k-n}=\frac{a^k}{a^n}=4:\frac18=32$.

c) $a^{2k}=(a^k)^2=16$.

d) $a^{2n+k}=(a^n)^2a^k=\frac1{64}\cdot4=\frac1{16}$.

e) $a^{3k+2n}=(a^k)^3(a^n)^2=64\cdot\frac1{64}=1$.

a) Ponieważ $9^n=3^{2n}$, $10\cdot9^n-3^{2n}=9\cdot3^{2n}=3^{2n+2}.$

b) Wyłączamy $3^{-n}$ w liczniku:

$$\frac{3^n+3^{-n}}{9^n+1} =\frac{3^{-n}(3^{2n}+1)}{3^{2n}+1} =3^{-n}.$$

a) Potęgowanie wykładnikiem $-1$ zamienia liczbę na odwrotność. Po parzystej liczbie $100$ takich operacji wracamy do liczby początkowej $\frac23$.

b) Dla liczby $2$ kolejne wartości, licząc od środka, to $\frac23,\ \frac35,\ \frac58,\ \frac8{13}.$ Dla liczby $3$ otrzymujemy $\frac34,\ \frac47,\ \frac7{11},\ \frac{11}{18}.$ Ponieważ $\frac8{13}>\frac{11}{18}$ ($144>143$), po zamianie $2$ na $3$ wartość zmalała.

a) Liczba $2n+1$ jest nieparzysta, więc $(-1)^{2n+1}=-1$.

b) $(-1)^n+(-1)^{n+1}=(-1)^n(1+(-1))=0.$

c) Iloczyn $n(n+1)$ jest parzysty, zatem wykładnik $n^2+n+1=n(n+1)+1$ jest nieparzysty i $(-1)^{n^2+n+1}=-1$.

Oznaczmy przyprostokątne przez $a,b$, a przeciwprostokątną przez $c$. Wysokości opuszczone na przyprostokątne mają długości $a$ i $b$, natomiast wysokość na przeciwprostokątną ma długość

$h=\frac{ab}{c}.$

Jest ona najkrótsza, więc $h_1=h$, a $h_2,h_3$ to $a,b$ w odpowiedniej kolejności. Z twierdzenia Pitagorasa:

$$h_1^{-2}=\frac{c^2}{a^2b^2} =\frac{a^2+b^2}{a^2b^2} =\frac1{a^2}+\frac1{b^2} =h_2^{-2}+h_3^{-2}.$$

Grupujemy sto składników w $50$ par:

$$3^{2j-1}+3^{2j}=3^{2j-1}(1+3)=4\cdot3^{2j-1}$$

dla $j=1,2,\ldots,50$. Zatem

$$\frac{3+3^2+\cdots+3^{100}}4 =\sum_{j=1}^{50}3^{2j-1},$$

a prawa strona jest sumą liczb całkowitych.