MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 35

Korzystamy z równości $a^xb^x=(ab)^x$ oraz $a^x:b^x=(a:b)^x$.

a) $\left(8\cdot\frac14\right)^x=2^x$

b) $(14\cdot0{,}1)^{-x}=\left(\frac75\right)^{-x}=\left(\frac57\right)^x$

c) $\left(16:\frac12\right)^x=32^x$

d) $\left(\frac34:\frac54\right)^{-x}=\left(\frac35\right)^{-x}=\left(\frac53\right)^x$

a) $(6^9)^2=6^{18}=(6^2)^9=36^9$

b) $(8^6)^{-2}=8^{-12}=(8^{-2})^6=\left(\frac1{64}\right)^6$

c) $\left(\left(\frac23\right)^5\right)^{-1}=\left(\frac23\right)^{-5}=\left(\frac32\right)^5=1{,}5^5$

Nierówność jest równoważna warunkowi

$10^k>2^{10}=1024.$

Dla $k=3$ mamy $10^3=1000<1024$, natomiast dla $k=4$ zachodzi $10^4=10\,000>1024$. Najmniejszym całkowitym wykładnikiem jest więc $4$.

W każdym podpunkcie wyłączamy najniższą potęgę przed nawias.

a) $2\cdot5^7+3\cdot5^6+3\cdot5^5=5^5(50+15+3)=68\cdot5^5,$ więc liczba jest parzysta.

b) $3^5-3^4+3^3=3^3(9-3+1)=27\cdot7=9\cdot21.$

c) $2^{100}+2^{101}+2^{102}=2^{100}(1+2+4)=7\cdot2^{100}=14\cdot2^{99}.$

d) $5^{2019}(1+5+25)=31\cdot5^{2019}.$

e) Ponieważ $9^7=3^{14}$ i $27^5=3^{15}$, $3^{12}+9^7+27^5=3^{12}(1+9+27)=37\cdot3^{12}.$

f) Licznik jest równy $4^7(4^2+4+1)=2^{14}\cdot21,$ a dzielnik $2^7-2^6-2^4=2^4(8-4-1)=3\cdot2^4.$ Iloraz wynosi $7\cdot2^{10}$, zatem jest całkowity.

Mamy

$x^{-5}=3^{-5},$

więc $x=3$. Ponadto

$0{,}00032=\frac{32}{100\,000}=\frac1{3125}=5^{-5},$

zatem $y=5$. Stosunek większej liczby do mniejszej wynosi $\frac53$.

a) Zaczynamy od najgłębszego ułamka $q_0=2^{-10}$. Każda kolejna warstwa ma postać

$q_{j+1}=\frac1{2q_j}.$

Stąd $q_1=2^9$, $q_2=2^{-10}$, $q_3=2^9$, $q_4=2^{-10}$.

b) Ponownie $q_0=2^{-10}$, lecz teraz

$q_{j+1}=\frac1{2:q_j}=\frac{q_j}{2}.$

Po czterech warstwach otrzymujemy $q_4=2^{-14}$.

a) $x=6^6\cdot12^{-3}\cdot9^{-2}=\frac{2^6\cdot3^6}{2^6\cdot3^3\cdot3^4}=\frac13.$

b) $128+16x=192,$ zatem $x=4$.

c) Mnożymy równanie przez $17^{16}$: $7\cdot17=17^2+x,$ stąd $x=-170$.

d) Ponieważ $25^{-5}=2^{10}\cdot10^{-10}$, po podzieleniu równania przez $10^{-10}$ dostajemy $3\cdot2^{10}+10x=7x,$ czyli $x=-1024$.

Sprowadzamy liczby do wspólnej podstawy lub wspólnego wykładnika.

a) $8^{10}=2^{30}=4^{15}$.

b) $4^{100}=2^{200}$.

c) $2^7+2^7=2^8=4^4$.

d) $4^5\cdot8^{30}=2^{10}\cdot2^{90}=2^{100}=16^{25}$.

e) $2^9\cdot18^{10}=2^{19}3^{20}=3\cdot6^{19}>6^{19}$.

f) $99^{20}=(99^2)^{10}=9801^{10}<9999^{10}$.