MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 34

Sprowadzamy czynniki do wspólnych podstaw:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad& 2^{12}3^9(2\cdot3)^{-11} =2^1 3^{-2}=\frac29,\\ \text{b)}\quad& \frac{2^4 3^6}{2^6 3^5}=\frac34,\\ \text{c)}\quad& 2^5\cdot(2\cdot5)^6:(2^2\cdot5)^5 =2\cdot5=10. \end{aligned}$$

W podpunkcie d)

$$\frac{\frac{400}{4096}-\frac{80}{4096}}{10\cdot2^9} =\frac{\frac5{64}}{5\cdot2^{10}} =2^{-16}=\frac1{65\,536}.$$

Ponadto

$$\begin{aligned} \text{e)}\quad& \left(\left(\frac{2^4}{5^2}\right)^{-6} \left(\frac25\right)^{10}\right)2^{16} =2^2 5^2=100,\\ \text{f)}\quad& 15^{-2}\left(\frac{19}{20}\cdot\frac4{57}\right)^{-3} =15^{-2}\left(\frac1{15}\right)^{-3}=15. \end{aligned}$$

a) Lewa strona to $\frac1{1000}+1000=1000{,}001$, a prawa $1$, więc równość jest fałszywa.

b)

$$\left(\frac12\right)^{-5}+(-2)^5=32-32=0,$$

więc równość jest prawdziwa.

c) $(-4)^{-5}<0$ i $(-5)^{-4}>0$, więc ich różnica jest ujemna, a nie równa zeru.

d)

$$-1+1-1+1=0,$$

więc równość jest prawdziwa.

Korzystamy z prawa $(a^m)^n=a^{mn}$:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&(0{,}6^{-3})^{-8}=0{,}6^{24} =(0{,}6^{-2})^{-12},\\ \text{b)}\quad& \left(-\frac12\right)^{15}\ne\left(\frac12\right)^{15},\\ \text{c)}\quad& \left(\frac52\right)^6 =\left(\frac25\right)^{-6},\\ \text{d)}\quad& \left(\frac23\right)^{-20} =\left(\frac32\right)^{20} =(1{,}5^{-4})^{-5}. \end{aligned}$$

Sprowadzamy każdą parę do podstawy $10$:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&10^{100}>10^{20}=100^{10},\\ \text{b)}\quad&100^{100}=10^{200}<10^{1000},\\ \text{c)}\quad&100^{-10}=10^{-20}>10^{-100},\\ \text{d)}\quad&10\,000^{100}=10^{400}<10^{3000}=1000^{1000}. \end{aligned}$$

Przedstawiamy każdą liczbę jako trzecią potęgę odwrotności szukanej podstawy:

$$\begin{aligned} \frac18&=2^{-3},& -\frac8{27}&=\left(-\frac32\right)^{-3},& 0{,}001&=10^{-3},\\ 64&=\left(\frac14\right)^{-3},& -1&=(-1)^{-3},& -216&=\left(-\frac16\right)^{-3}. \end{aligned}$$

Ujemny wykładnik wymaga $x\ne0$, a mianownik po uproszczeniu wymaga także $a\ne0$. Licznik jest równy

$$-a^6x^{-3}(-a^5)x^6=a^{11}x^3,$$

natomiast w mianowniku występują trzy czynniki ujemne, zatem

$$(-a)^6(-x^{-3})(-a^5)(-x^6)=-a^{11}x^3.$$

Iloraz jest więc równy $-1$.

Licznik i mianownik upraszczamy osobno:

$$4^5+4^5+4^5+4^5=4\cdot4^5=4^6=2^{12},$$ $$3^{-13}+3^{-13}+3^{-13}=3\cdot3^{-13}=3^{-12}.$$

Zatem lewa strona wynosi

$$\frac{2^{12}}{3^{-12}}=2^{12}3^{12}=6^{12},$$

więc równość jest prawdziwa.

Sprowadzamy obie strony każdej równości do tej samej podstawy:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&2^m=2^{-2},&m&=-2,\\ \text{b)}\quad&3^m=3^{-3},&m&=-3,\\ \text{c)}\quad&5^{-m}=5^3,&m&=-3,\\ \text{d)}\quad&5^{-2m}=5^4,&m&=-2,\\ \text{e)}\quad&\left(\frac23\right)^m =\left(\frac23\right)^{-5},&m&=-5,\\ \text{f)}\quad&\left(\frac52\right)^m =\left(\frac52\right)^{-2},&m&=-2. \end{aligned}$$