MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 341

Funkcja wyjściowa ma postać $(x+1)^2-1$ i wierzchołek $(-1,-1)$. Wyznaczamy wierzchołek każdej funkcji $g$ i odejmujemy współrzędne.

a) $W_g=(3,4)$. b) $g(x)=(x+2)^2-3$. c) $g(x)=(x-3)^2-10$. d) $g(x)=x^2-1$.

Sprowadzamy wzory do postaci kanonicznej i odczytujemy wartość w wierzchołku.

a) minimum $0$. b) maksimum $-4$. c) $f(x)=1-x^2$, maksimum $1$. d) $f(x)=2(x+1)^2-50$, minimum $-50$. e) $f(x)=(x+1)^2-8$, minimum $-8$. f) $f(x)=-3(x+\frac16)^2-\frac{11}{12}$, maksimum $-\frac{11}{12}$.

Wyznaczamy miejsca zerowe i kierunek ramion, a następnie odczytujemy obszar na osi, gdzie wykres leży na lub nad osią $OX$.

a) Zera $-2,0$, ramiona w dół. b) Brak zer i wartości zawsze dodatnie. c) Zera $-1,3$, ramiona w górę. d) Zera $-5,3$, ramiona w górę. e) Wyróżnik ujemny, ramiona w dół. f) Zera $-6,0$, ramiona w dół.

a) Oś symetrii daje postać $f(x)=a(x-3)^2+q$. Z punktów $(1,6)$ i $(-1,18)$ mamy $4a+q=6$ i $16a+q=18$, więc $a=1$, $q=2$.

b) Jedno miejsce zerowe i punkt $(2,0)$ oznaczają podwójny pierwiastek $2$: $f(x)=a(x-2)^2$. Z $f(0)=1$ dostajemy $a=\frac14$.

Z równania prostej mamy $y=8-2x$.

a) Iloczyn $xy=-2x^2+8x=-2(x-2)^2+8$ jest największy dla $x=2$, wtedy $y=4$.

b) $y-x^2=8-2x-x^2=-(x+1)^2+9$ jest największe dla $x=-1$, wtedy $y=10$.

Na paraboli $y=-2x^2+1$.

a) $x+y=-2x^2+x+1=-2(x-\frac14)^2+\frac98$, więc $x=\frac14$ i $y=\frac78$.

b) $x-y=2x^2+x-1=2(x+\frac14)^2-\frac98$, więc minimum jest dla $x=-\frac14$, a $y=\frac78$.

Oś symetrii ma równanie $x=p$, gdzie $p$ jest odciętą wierzchołka.

a) $p=-\frac{-12}{2\cdot2}=3$. b) Z postaci kanonicznej $p=-2$. c) $p=1$. d) $-(2x+6)^2-2=-4(x+3)^2-2$, więc $p=-3$.

Oś symetrii funkcji ma równanie $x=-1$, a ramiona są skierowane w górę. Wartość rośnie wraz z odległością argumentu od $-1$.

Porównujemy więc odległości każdej pary argumentów od liczby $-1$; w podpunktach a) oba leżą na prawo, w b) i c) na lewo, a w d) po przeciwnych stronach osi.