Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Zbiór zadań · szkoła średnia

MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 33

temat „1.7. Potęga o wykładniku całkowity” · 7 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Korzystamy ze wzoru a−n=1ana^{-n}=\frac1{a^n}:

a)3−4=181,(−4)−3=−164,−4−2=−116;b)(13)−2=9,(−23)−3=−278,(−32)−2=49;c)(73)−2=949,(−54)−2=1625,(14)−3=64;d)(7)−4=149,(55)−2=5,(−32)−6=6427.\begin{aligned} \text{a)}\quad& 3^{-4}=\frac1{81},\quad (-4)^{-3}=-\frac1{64},\quad -4^{-2}=-\frac1{16};\\ \text{b)}\quad& \left(\frac13\right)^{-2}=9,\quad \left(-\frac23\right)^{-3}=-\frac{27}{8},\quad \left(-\frac32\right)^{-2}=\frac49;\\ \text{c)}\quad& \left(\frac73\right)^{-2}=\frac9{49},\quad \left(-\frac54\right)^{-2}=\frac{16}{25},\quad \left(\frac14\right)^{-3}=64;\\ \text{d)}\quad& (\sqrt7)^{-4}=\frac1{49},\quad \left(\frac{\sqrt5}{5}\right)^{-2}=5,\quad \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^{-6}=\frac{64}{27}. \end{aligned}
Odpowiedź

a) 181\frac1{81}, −164-\frac1{64}, −116-\frac1{16}; b) 99, −278-\frac{27}{8}, 49\frac49; c) 949\frac9{49}, 1625\frac{16}{25}, 6464; d) 149\frac1{49}, 55, 6427\frac{64}{27}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

8 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Stosujemy prawa aman=am+na^m a^n=a^{m+n}, am:an=am−na^m:a^n=a^{m-n} oraz (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}:

a)3−3+6−5=3−2=19,b)(−2)−8−4−(−5)=(−2)−7=−1128,c)(−0,6)−5−(−7)=(−0,6)2=0,36,d)(43)−1−(−3)=(43)2=169,e)23⋅(−3)+4=2−5=132,f)72⋅(−18)+(−9)⋅(−4)=70=1,g)(53)−8(35)−6=(53)−2=925,h)(4312)−10(4312)10=1.\begin{aligned} \text{a)}\quad&3^{-3+6-5}=3^{-2}=\frac19,\\ \text{b)}\quad&(-2)^{-8-4-(-5)}=(-2)^{-7}=-\frac1{128},\\ \text{c)}\quad&(-0{,}6)^{-5-(-7)}=(-0{,}6)^2=0{,}36,\\ \text{d)}\quad&\left(\frac43\right)^{-1-(-3)} =\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9},\\ \text{e)}\quad&2^{3\cdot(-3)+4}=2^{-5}=\frac1{32},\\ \text{f)}\quad&7^{2\cdot(-18)+(-9)\cdot(-4)}=7^0=1,\\ \text{g)}\quad&\left(\frac53\right)^{-8} \left(\frac35\right)^{-6} =\left(\frac53\right)^{-2}=\frac9{25},\\ \text{h)}\quad&\left(\frac{43}{12}\right)^{-10} \left(\frac{43}{12}\right)^{10}=1. \end{aligned}
Odpowiedź

a) 19\frac19; b) −1128-\frac1{128}; c) 0,360{,}36; d) 169\frac{16}{9}; e) 132\frac1{32}; f) 11; g) 925\frac9{25}; h) 11.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu
a)10−10⋅105⋅1010=105=100 000,b)(12⋅23⋅34⋅45)−3=(15)−3=125,c)(1410)−2⋅143⋅110=102142⋅14310=140,d)(125⋅15)−3125−4=125153=127,e)2+2+2+2=8,f)38−35−33−38=−35−33=−270.\begin{aligned} \text{a)}\quad& 10^{-10}\cdot10^5\cdot10^{10}=10^5=100\,000,\\ \text{b)}\quad& \left(\frac12\cdot\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\right)^{-3} =\left(\frac15\right)^{-3}=125,\\ \text{c)}\quad& \left(\frac{14}{10}\right)^{-2}\cdot14^3\cdot\frac1{10} =\frac{10^2}{14^2}\cdot\frac{14^3}{10}=140,\\ \text{d)}\quad& \frac{(125\cdot15)^{-3}}{125^{-4}} =\frac{125}{15^3}=\frac1{27},\\ \text{e)}\quad& 2+2+2+2=8,\\ \text{f)}\quad& 3^8-3^5-3^3-3^8=-3^5-3^3=-270. \end{aligned}
Odpowiedź

a) 100 000100\,000; b) 125125; c) 140140; d) 127\frac1{27}; e) 88; f) −270-270.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu
a)29⋅26⋅2−8=27=128,b)(−164⋅64729):181=−19,c)576(19−164)=55,d)2025(1405−925)=−724.\begin{aligned} \text{a)}\quad& 2^9\cdot2^6\cdot2^{-8}=2^7=128,\\ \text{b)}\quad& \left(-\frac1{64}\cdot\frac{64}{729}\right):\frac1{81} =-\frac19,\\ \text{c)}\quad& 576\left(\frac19-\frac1{64}\right)=55,\\ \text{d)}\quad& 2025\left(\frac1{405}-\frac9{25}\right)=-724. \end{aligned}

W podpunkcie e) oba składniki w nawiasie są równe 28⋅5122^8\cdot5^{12}, więc ich różnica, a zatem całe wyrażenie, jest równa 00. W podpunkcie f)

64⋅82=82 944=4⋅124,6^4\cdot8^2=82\,944=4\cdot12^4,

zatem licznik i całe wyrażenie także są równe 00.

Odpowiedź

a) 128128; b) −19-\frac19; c) 5555; d) −724-724; e) 00; f) 00.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Przesunięcie przecinka o kk miejsc w lewo odpowiada potędze 10−k10^{-k}:

10 000=104,100 000=105,1=100,0,001=10−3,0,00001=10−5,0,000000001=10−9.10\,000=10^4,\quad 100\,000=10^5,\quad 1=10^0,\quad 0{,}001=10^{-3},\quad 0{,}00001=10^{-5},\quad 0{,}000000001=10^{-9}.
Odpowiedź

a) 10410^4; b) 10510^5; c) 10010^0; d) 10−310^{-3}; e) 10−510^{-5}; f) 10−910^{-9}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Po podstawieniu t=2t=2 i x=−1x=-1:

a)2−6+(−1)−2=164+1=6564,b)2−2⋅(−1)−6=14,c)18+14+12+1=158,d)−1−1+1+1=0.\begin{aligned} \text{a)}\quad&2^{-6}+(-1)^{-2}=\frac1{64}+1=\frac{65}{64},\\ \text{b)}\quad&2^{-2}\cdot(-1)^{-6}=\frac14,\\ \text{c)}\quad&\frac18+\frac14+\frac12+1=\frac{15}{8},\\ \text{d)}\quad&-1-1+1+1=0. \end{aligned}
Odpowiedź

a) 6564=1164\frac{65}{64}=1\frac1{64}; b) 14\frac14; c) 158=178\frac{15}{8}=1\frac78; d) 00.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

We wszystkich podpunktach potęgi o ujemnych wykładnikach oraz dzielenie wymagają założenia x≠0x\ne0.

a)x6x−3x4x−5=x3x−1=x4,b)x−2+3−(5−(−6))x4−6=x−10x−2=x−8=1x8,c)(x−12−(−10))−1x−21x6=x2x−15=x17,d)(x4−3)3(x−2+1)−4x6+1:(x1−5)−2=x7x−1=x8.\begin{aligned} \text{a)}\quad& \frac{x^6x^{-3}}{x^4x^{-5}} =\frac{x^3}{x^{-1}}=x^4,\\ \text{b)}\quad& \frac{x^{-2+3-(5-(-6))}}{x^{4-6}} =\frac{x^{-10}}{x^{-2}}=x^{-8}=\frac1{x^8},\\ \text{c)}\quad& \frac{(x^{-12-(-10)})^{-1}}{x^{-21}x^6} =\frac{x^2}{x^{-15}}=x^{17},\\ \text{d)}\quad& \frac{(x^{4-3})^3(x^{-2+1})^{-4}} {x^{6+1}:(x^{1-5})^{-2}} =\frac{x^7}{x^{-1}}=x^8. \end{aligned}
Odpowiedź

Przy założeniu x≠0x\ne0: a) x4x^4; b) x−8=1x8x^{-8}=\frac1{x^8}; c) x17x^{17}; d) x8x^8.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem