MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 339

Trójmian z dodatnim współczynnikiem przy $x^2$ jest wszędzie dodatni, gdy jego minimum jest dodatnie; analogicznie dla maksimum trójmianu z ramionami w dół.

a) $\frac12x^2-2x+c=\frac12(x-2)^2+c-2$, więc $c>2$. b) $-3x^2-2x+c=-3(x+\frac13)^2+c+\frac13$, więc $c<-\frac13$.

Zbiór $\mathbb R\setminus\{6\}$ otrzymujemy, gdy lewa strona ma stały znak i zeruje się podwójnie dla $x=6$.

a) $x^2-12x+k=(x-6)^2$ daje $k=36$. b) $-4x^2+kx-144=-4(x-6)^2$ daje $k=48$.

W obu przypadkach wymagany stały, ostry znak zachodzi wtedy, gdy wyróżnik jest ujemny.

a) $\Delta=b^2-16<0$, więc $|b|<4$. b) $\Delta=b^2-36<0$, więc $|b|<6$.

Oba argumenty funkcji leżą w $(-\infty;0)$, bo $-x^2+2x-2=-(x-1)^2-1<0$. Na przedziale malejącości nierówność wartości odwraca porządek argumentów: $f(-x^2+2x-2)>f(-5)\iff -x^2+2x-2<-5.$ Stąd $(x+1)(x-3)>0$.

a) Warunek $0\le x^2$ jest automatyczny, a $x^2\le4$ daje $|x|\le2$. b) $(x-1)^2\le9$ daje $|x-1|\le3$. c) Łączymy $x^2>-x$ oraz $x^2<x$; ich wspólną częścią jest $0<x<1$.

Niech krótszy bok ma długość $x>0$, a dłuższy $x+4$. Pole wynosi $x(x+4)$.

a) $x(x+4)\le12$ daje $(x-2)(x+6)\le0$, więc po uwzględnieniu $x>0$ mamy $x\le2$. b) $x(x+4)>21$ daje $(x-3)(x+7)>0$, więc $x>3$.

Niech krótsza przyprostokątna ma długość $x>0$, a dłuższa $x+3$. Warunek pola to $\frac{x(x+3)}2<54,$ czyli $(x-9)(x+12)<0$. Zatem $0<x<9$, a dla dłuższej przyprostokątnej $3<x+3<12$.

Warunki mają postać $n^2-15n+14>0,\qquad n^2-16n+14<0.$ Pierwsza nierówność daje $n<1$ lub $n>14$. Miejsca zerowe drugiego trójmianu to $8\pm5\sqrt2$, więc wśród liczb naturalnych spełniających pierwszy warunek pozostaje tylko $n=15$.

a) Rozwiązaniem jest otwarty przedział między liczbami $1$ i $a$. Dokładnie cztery liczby całkowite leżą w nim dla $-4\le a<-3$ albo $5<a\le6$.

b) Nierówność jest równoważna $(x+2)^2<4-a$. Aby zawierała dokładnie liczby całkowite $-3,-2,-1$, promień przedziału musi spełniać $1<\sqrt{4-a}\le2$.

Po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę otrzymujemy trójmian z dodatnim współczynnikiem przy $x^2$. Aby ostra nierówność zachodziła dla każdego $x$, jego wyróżnik musi być ujemny.

a) $\Delta=12-3m^2<0$. b) $\Delta=m(m-8)<0$. c) $\Delta=(m-3)^2-16<0$. d) $\Delta=24-3m^2<0$.

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, funkcja jest ujemna dla każdego $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta<0$.

a) $\Delta=16m^2-8m-8=8(2m+1)(m-1)<0$. b) $\Delta=(m+1)^2+4(8m-9)=(m+35)(m-1)<0$.