MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 338

a) Po rozwinięciu i redukcji otrzymujemy $2x^2-18x+36\le0,$ czyli $2(x-3)(x-6)\le0$.

b) Po pomnożeniu przez $2$ i redukcji otrzymujemy $-6x^2+5x-23>0.$ Wyróżnik tego trójmianu wynosi $-527$, a współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc lewa strona jest zawsze ujemna.

a) $2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3)$ jest nieujemne na zewnątrz miejsc zerowych.

b) $8x^2-2\le0$ jest równoważne $x^2\le\frac14$.

c) Dla $x<1$ mamy $(x+3)(x-1)>0$, więc $x<-3$. Dla $x\ge1$ nierówność $(x-2)(x-4)>0$ daje $1\le x<2$ lub $x>4$.

Sprowadzamy wzory do postaci kanonicznej.

a) $f(x)=(x-\frac12)^2+\frac{23}{4}>0$. b) $f(x)=-(x+\frac32)^2-\frac34<0$. c) $f(x)=-2(x-\sqrt2)^2\le0$. d) $f(x)=2(x+1)^2\ge0$. Każda z wymaganych tez wynika bezpośrednio z nieujemności kwadratu.

Dobieramy trójmian o odpowiednim znaku.

a) $(x-0)(x-2)>0$ jest dodatnie poza miejscami zerowymi. b) $x^2+1>0$ dla każdego $x$. c) $x^2+1<0$ nie ma rozwiązań. d) $-(x-5)^2\ge0$ zachodzi wyłącznie dla $x=5$.

Rozwiązujemy nierówność nad liczbami rzeczywistymi, a następnie wybieramy liczby całkowite lub naturalne.

a) $(x-5)(x+4)<0$, więc $-4<x<5$. b) $(x-2)(x+1)\le0$, więc $-1\le x\le2$. c) $(x+4)(x-3)<0$, więc $-4<x<3$. d) Miejsca zerowe to $\sqrt3$ i $2\sqrt3$, więc wybieramy całkowite między nimi.

Wyznaczamy przedział rozwiązań i sumujemy zawarte w nim liczby całkowite.

a) $\frac12\le x\le2$: liczby $1,2$. b) $2\sqrt3-\frac72\le x\le2\sqrt3+\frac72$: liczby $0,1,\ldots,6$. c) $-\frac32\le x\le1$: liczby $-1,0,1$. d) $-2<x<6$: liczby $-1,0,1,2,3,4,5$.

Uzupełniamy kwadrat: $x(3-x)=-x^2+3x=\frac94-\left(x-\frac32\right)^2\le\frac94.$ Wartość lewej strony nigdy nie jest większa od $\frac94$, więc podana nierówność nie ma rozwiązania. Teza została wykazana.

Podstawiamy argumenty do $f(t)=t^2-4t-5$ i redukujemy.

a) Nierówność $f(x+2)>f(x+8)$ upraszcza się do $x<-3$.

b) Nierówność $f(1-x)\le2f(x)+11$ upraszcza się do $(x-1)(x-9)\ge0$.

Ponieważ $f$ jest malejąca, z $f(A)<f(B)$ wynika $A>B$. Zatem $3-2x>2x^2-3x,$ czyli $2x^2-x-3<0$. Miejsca zerowe to $-1$ i $\frac32$, a ramiona są skierowane w górę.