MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 333

Iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem. Zerujemy więc kolejno czynniki liniowe w każdym podpunkcie.

Pierwiastki odczytujemy z zerowania czynników liniowych; współczynnik stojący przed iloczynem nie wpływa na miejsca zerowe.

Równanie o zadanych pierwiastkach może mieć postać $(x-x_1)(x-x_2)=0$.

a) $x(x+3)=0$. b) $(3x-1)(5x+2)=0$. c) $(x+5)^2=0$. d) $(x-1+\sqrt2)(x-1-\sqrt2)=x^2-2x-1$.

Korzystamy z zależności między pierwiastkami a czynnikami.

a) Równanie $(x-2)(x+2)=0$ ma pierwiastki przeciwne. b) Dla $(x-2)(x-\frac12)=0$ iloczyn pierwiastków wynosi $1$. c) Równanie $(x-\sqrt2)^2=0$ ma jeden, podwójny pierwiastek niewymierny.

Podstawiamy wspólne wyrażenie liniowe.

a) Dla $t=3x-1$ mamy $t^2=-t$, więc $t(t+1)=0$. b) Dla $t=1+2x$ mamy ponownie $t(t+1)=0$. c) Dla $t=4-x$ mamy $t^2=t$, więc $t(t-1)=0$.

Trójmian ma rzeczywistą postać iloczynową wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta\ge0$.

a) $\Delta=4-\frac{4\sqrt3}{3}>0$. b) $\Delta=0$. c) $\Delta=4-\pi>0$. d) $\Delta=\pi^2-10<0$.

Wyznaczamy pierwiastki i zapisujemy $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.

a) Pierwiastki $1,5$. b) Pierwiastki $-2,3$. c) Pierwiastki $-3,6$. d) Pierwiastki $-5,\frac14$. e) Pierwiastki $-2\sqrt2,\sqrt2$. f) Pierwiastki $\frac\pi2,\frac{\pi+6}{2}$.