MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 332

Najpierw musi zachodzić $b\ge0$. Wyróżnik równania wynosi $\Delta=(\sqrt b)^2-8=b-8.$

a) Brak rozwiązań: $\Delta<0$. b) Dwa rozwiązania: $\Delta>0$. c) Co najmniej jedno rozwiązanie: $\Delta\ge0$.

Wyznaczamy pierwiastki drugiego równania i każdy z nich podstawiamy do pierwszego.

a) Pierwiastki to $-1$ i $-2$. Dają one odpowiednio $c=8$ i $c=14$.

b) Pierwiastki to $\sqrt2$ i $2\sqrt2$. Dają one odpowiednio $c=2$ i $c=-4$.

Z założenia $a+b+c=0$ mamy $b=-a-c$. Zatem $ax^2+bx+c=ax^2-(a+c)x+c=(x-1)(ax-c).$ Ponieważ $a\ne0$, czynniki zerują się dla $x=1$ oraz $x=\frac ca$. Teza została wykazana.

Z założenia $a-b+c=0$ mamy $b=a+c$. Wtedy $ax^2+bx+c=ax^2+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).$ Ponieważ $a\ne0$, czynniki zerują się dla $x=-1$ oraz $x=-\frac ca$. Teza została wykazana.

a) Wartość bezwzględna jest zerem, gdy $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)=0$.

b) Rozwiązujemy $x^2+2x-1=2$ lub $x^2+2x-1=-2$.

c) Rozwiązujemy $x^2-4x-4=1$ lub $x^2-4x-4=-1$.

Korzystamy z $|A|=|B|\iff A=B$ lub $A=-B$.

a) Pierwsza równość daje $x=1$, druga daje $2x^2+5x+3=0$.

b) Pierwsza równość daje $2x^2-x-1=0$, druga daje $4x^2+3x-7=0$.

Ze skanu odczytujemy miejsca zerowe wyrażenia pod modułem: $0$ i $4$. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ wynosi $1$, mamy $b=-4$, $c=0$.

b) Równanie $|x^2-4x|=|x^2-4x+6|$ może zachodzić tylko dla przeciwnych wyrażeń. Dostajemy $x^2-4x=-3$.

c) Przyrównanie wyrażeń ze znakiem zgodnym daje $x^2-4x-5=0$, a ze znakiem przeciwnym — $x^2-4x+3=0$.