MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 331

Funkcja ściśle rosnąca jest różnowartościowa, więc równość wartości wymusza równość argumentów: $6x+15=2x^2-x.$ Po uporządkowaniu $2x^2-7x-15=0$, a $\Delta=169$.

Przyrównujemy funkcję do podanej wartości i rozwiązujemy otrzymane równanie.

a) $x^2+6x+5=0$. b) $8x^2+14x-15=0$. c) $20x^2+8x-1=0$. d) $\sqrt3x^2-6x+3\sqrt3=0$.

Rozwiązujemy równanie $f(x)=g(x)$.

a) $2x^2-9x-18=0$. b) $3x^2-2x+2=0$ po poprawnym rozwinięciu? Bezpośrednia redukcja daje brak rozwiązań. c) $4x^2-6\sqrt2x-2=0$. d) $4x^2-12x+6=0$ po pomnożeniu przez $3$.

Liczba punktów wspólnych jest liczbą rozwiązań równania $f(x)=g(x)$.

a) Po redukcji otrzymujemy równanie o dodatnim wyróżniku. b) Otrzymujemy równanie o ujemnym wyróżniku. c) Otrzymujemy równanie z wyróżnikiem równym zero. d) Otrzymujemy równanie o dodatnim wyróżniku.

Podstawiamy podaną wartość $x_0$ i rozwiązujemy równanie względem $a$.

a) $3a^2+2a-1=0$. b) Po podstawieniu $x_0=\frac72$ otrzymujemy $a^2=1$. c) Po podstawieniu $x_0=-\frac13$ otrzymujemy $a^2+2a-3=0$.

Ze skanu odczytujemy wierzchołek $f$: $(-3,5)$, oraz wierzchołek $g$: $(-2,-1)$. Stąd $p=-3$, $q=5$ i $g(x)=2(x+2)^2-1=2x^2+8x+7,$ czyli $b=8$, $c=7$.

Miejsca zerowe $f(x)=-(x+3)^2+5$ spełniają $(x+3)^2=5$. Równanie $f(x)=g(x)$ upraszcza się do $3x^2+14x+11=0$.

Z wzorów Viète’a iloczyn pierwiastków wynosi $-2$. Drugi pierwiastek jest więc równy $\frac{-2}{1+\sqrt3}=1-\sqrt3.$ Suma pierwiastków wynosi $2=-b$, zatem $b=-2$.