MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 330

Po uporządkowaniu obliczamy wyróżnik.

a) $\Delta=99=9\cdot11$. b) $\Delta=1$. c) $\Delta=-9$. d) Równanie upraszcza się do $(x-1)^2=0$. e) Otrzymujemy wyróżnik $-59$. f) Otrzymujemy $6x^2+2\sqrt2x-\frac76=0$ i $\Delta=36$.

Miejsca zerowe istnieją wtedy, gdy wyróżnik jest nieujemny.

a) $\Delta=-80$. b) $\Delta=12$. c) $f(x)=(3x-1)^2$. d) $\Delta=27$. e) $\Delta=1-\frac{4\pi}{5}<0$. f) Po pomnożeniu przez $6$ mamy $-6x^2+x+2=0$ i $\Delta=49$.

Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0,f(0))$, a przecięcia z $OX$ odpowiadają miejscom zerowym.

a) $f(x)=x(x-4)$. b) $\Delta=-24$, więc brak przecięć z $OX$. c) $f(x)=(x+3)(x-2)$. d) $f(x)=-(x-1)(x+\sqrt2)$.

Niech trzy kolejne długości będą rosnące, a największa będzie przeciwprostokątną.

a) Dla $n,n+1,n+2$ równanie Pitagorasa daje $n^2-2n-3=0$, stąd dodatnie $n=3$.

b) Dla $2n,2n+2,2n+4$ po podzieleniu przez $4$ otrzymujemy to samo równanie, stąd boki $6,8,10$.

c) Dla $2n+1,2n+3,2n+5$ otrzymujemy $4n^2-4n-15=0$, którego pierwiastki nie są całkowite.

Do szkicu wystarczą miejsca zerowe, wierzchołek i kierunek ramion.

a) $f(x)=-2x(x+2)$: zera $-2,0$, wierzchołek $(-1,2)$, ramiona w dół.

b) $f(x)=(x+1)(x-3)$: zera $-1,3$, wierzchołek $(1,-4)$, ramiona w górę.

c) $f(x)=(x-2)(x-6)$: zera $2,6$, wierzchołek $(4,-4)$, ramiona w górę.

d) $f(x)=-(x+4)(x-2)$: zera $-4,2$, wierzchołek $(-1,9)$, ramiona w dół.

Po usunięciu mianowników i redukcji otrzymujemy:

a) $4x^2-12x+9=0$; b) $3x^2-7x-6=0$; c) $2x^2+1=0$;

d) $16x^2-18x-9=0$; e) $6x^2-3x-3=0$; f) $3x^2+2x-8=0$;

g) $x^2-x-1=0$; h) po pomnożeniu przez $15$ i redukcji otrzymujemy $5x^2-3x+45=0$, którego wyróżnik jest ujemny.

Podstawiamy wskazane argumenty do $f(t)=t^2+3t+2=(t+1)(t+2)$.

a) $(x+2)(x+3)=0$. b) $(1-x)(2-x)=0$. c) $(2-x)(3-x)=0$. d) $-x(x+3)=0$. e) $(2x+1)(2x+2)=0$. f) $(x-3)(x-2)=0$.

a) Po obliczeniu obu wartości otrzymujemy $x^2-2x-3=x^2+6x+5$, więc $x=-1$.

b) $f(x+1)=x^2+4x$, natomiast $2f(x)=2x^2+4x-6$. Stąd $x^2=6$.