MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 329

Obliczamy wyróżniki. Kolejno otrzymujemy:

a) $\Delta=0$; b) $\Delta=129>0$; c) $\Delta=-7<0$; d) $\Delta=\frac94>0$;

e) $\Delta=0$; f) $\Delta=-1<0$; g) trójmian jest równy $-(x-4)^2$; h) $\Delta=\frac14+2\sqrt2>0$.

Po uporządkowaniu równań badamy znak wyróżnika. Otrzymujemy kolejno:

a) $\Delta=8-4\sqrt2>0$; b) $\Delta=0$; c) $\Delta=1-\sqrt2<0$; d) $\Delta=4-\frac{4\pi}{3}<0$;

e) $\Delta=12-12\sqrt3<0$; f) $\Delta=12-4\sqrt5>0$; g) $\Delta=0$; h) $\Delta=25-8\sqrt3>0$.

a) $\Delta=28$, więc oba pierwiastki $4\pm\sqrt7$ są niewymierne.

b) $\Delta=37$, więc oba pierwiastki są niewymierne.

c) $\Delta=81$, więc oba pierwiastki są wymierne.

d) Równanie ma postać $(x-\sqrt2)^2=0$, więc ma jeden różny pierwiastek niewymierny.

Liczba rozwiązań iloczynu jest liczbą różnych pierwiastków obu czynników.

a) Pierwszy czynnik nie ma pierwiastków, drugi ma dwa. b) Oba czynniki mają ujemne wyróżniki. c) Każdy czynnik ma dwa różne pierwiastki i zbiory te są rozłączne. d) Pierwszy czynnik to $(x-1)^2$, a drugi nie ma pierwiastków.

Wyróżnik równania wynosi $\Delta=b^2-4ac$. Skoro $a$ i $c$ mają przeciwne znaki, to $ac<0$, a więc $-4ac>0$. Zatem $\Delta=b^2-4ac>b^2\ge0.$ Mamy $\Delta>0$, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Teza została wykazana.

Stosujemy wzór kwadratowy; dla $\Delta=0$ otrzymujemy jeden pierwiastek.

a) $\Delta=25$. b) $\Delta=0$. c) $\Delta=64$. d) $\Delta=-68$. e) $\Delta=4$. f) $\Delta=0$. g) $\Delta=-8$. h) $\Delta=0$.

Po rozwinięciu nawiasów i redukcji otrzymujemy równania kwadratowe:

a) $3x^2-3x+5=0$; b) $(x+3)^2=0$; c) $4x^2-4x-3=0$; d) $x^2-x-6=0$;

e) $25x^2-30x+9=0$; f) $(x+3)^2=0$; g) $(x+1)(x+2)=0$; h) $(3x-2)(x+2)=0$.