MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 32

a)

$$\sqrt[3]{\sqrt[3]2\cdot4\sqrt[3]2\cdot8\sqrt[3]2} =\sqrt[3]{32\cdot(\sqrt[3]2)^3} =\sqrt[3]{64}=4.$$

Otrzymana średnia jest liczbą wymierną.

b) Weźmy różne liczby niewymierne $\sqrt2$ i $2\sqrt2$. Ich średnia geometryczna wynosi

$$\sqrt{\sqrt2\cdot2\sqrt2}=\sqrt4=2,$$

czyli jest wymierna.

Podnosimy obie strony do stopnia pierwiastka:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&a=(-2)^3=-8,\\ \text{b)}\quad&-a=3^3=27,\quad a=-27,\\ \text{c)}\quad&a=(2\sqrt[3]4)^3=8\cdot4=32,\\ \text{d)}\quad&a-1=2^4=16,\quad a=17,\\ \text{f)}\quad&-a=3^4=81,\quad a=-81. \end{aligned}$$

W podpunkcie e) nie ma rozwiązania, ponieważ pierwiastek parzystego stopnia nie może być ujemny.

Usuwamy pierwiastki przez podniesienie stron do odpowiednich potęg:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&x-2=4^3,\quad x=66,\\ \text{b)}\quad&x+6=(-3)^3,\quad x=-33,\\ \text{c)}\quad&x=2^5=32,\\ \text{d)}\quad&x+8=2^4,\quad x=8,\\ \text{f)}\quad&250x=10^6,\quad x=4000,\\ \text{g)}\quad&1-x^2=(-1)^7=-1,\quad x=\pm\sqrt2,\\ \text{h)}\quad&x^2-80=1^8,\quad x=\pm9. \end{aligned}$$

Równanie e) nie ma rozwiązania, gdyż pierwiastek czwartego stopnia nie przyjmuje wartości $-2$.

Zapisujemy liczby jako odpowiednie potęgi:

$$\begin{aligned} 125&=5^3, & -\frac18&=\left(-\frac12\right)^3,\\ 256&=4^4=16^2=2^8, & 0{,}000001&=(0{,}1)^6,\\ 0{,}0016&=(0{,}2)^4, & -\frac1{32}&=\left(-\frac12\right)^5. \end{aligned}$$

Wykładnik potęgi jest szukanym stopniem pierwiastka.

Racjonalizujemy mianowniki:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad& \frac{27}{10\sqrt[3]4} =\frac{27\sqrt[3]2}{20},\\ \text{b)}\quad& \frac{7\sqrt[3]4}{2}+\frac{3\sqrt[3]2}{2} =\frac{7\sqrt[3]4+3\sqrt[3]2}{2},\\ \text{c)}\quad& \frac{\sqrt[3]4}{4}+\frac{5\sqrt[3]4}{4} =\frac{3\sqrt[3]4}{2},\\ \text{d)}\quad& 6\sqrt[3]2+\frac{3\sqrt[3]2}{2} =\frac{15\sqrt[3]2}{2}. \end{aligned}$$

Każdy pierwiastek nieparzystego stopnia z $-1$ jest równy $-1$.

a) Dziewięć wyrazów z pierwiastkami ma naprzemienne znaki. Pierwszych osiem znosi się parami, a dwa ostatnie składniki dają

$$\sqrt[3]{-1}-(-1)=-1+1=0.$$

b) Po podstawieniu wartości $-1$ każda para kolejnych składników daje

$$-(2k+1)+(2k-1)=-2.$$

Od $99$ do $3$ występuje 49 współczynników, czyli 24 takie pary oraz ostatni współczynnik $3$. Zatem

$$24\cdot(-2)-3+1=-50.$$

Kolejne składniki oszacujemy z góry:

$$\sqrt{100}=10,\quad \sqrt[3]{100}<5,\quad \sqrt[4]{100}<4,\quad \sqrt[5]{100}<3.$$

Ponadto $(\frac52)^6>100$, więc $\sqrt[6]{100}<\frac52$. Dla $n=7,8,9,10$ mamy $2^n\ge2^7=128>100$, a zatem $\sqrt[n]{100}<2$. Stąd

$$\sum_{n=2}^{10}\sqrt[n]{100} <10+5+4+3+\frac52+4\cdot2 =32\frac12<33.$$

To dowodzi żądanej nierówności.