MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 328

Przyrównujemy wartość funkcji do wartości wskazanej w poleceniu.

a) $x^2-1=15$, więc $x^2=16$. b) $3x^2+2x-7=-7$, więc $x(3x+2)=0$. c) $\frac35(x-5)^2-9=6$, więc $(x-5)^2=25$. d) $(2x+1)^2=2x^2+1$, czyli $2x(x+2)=0$.

Najpierw wyznaczamy pierwiastki równania danego, a następnie zwiększamy każdy z nich o $1$.

a) Równanie jest równoważne $x(x-10)=0$, więc nowe pierwiastki to $1$ i $11$.

b) Po uporządkowaniu otrzymujemy $\frac53x^2=0$, więc jedyny pierwiastek $0$ jest podwójny; nowym podwójnym pierwiastkiem jest $1$.

a) Pierwsze równanie daje $4x(2x+1)=0$, czyli $x=0$ lub $x=-\frac12$. Drugie równanie ma wśród pierwiastków $x=\pm\frac12$; wspólna jest tylko liczba $-\frac12$.

b) Pierwsze równanie upraszcza się do $25x^2+\frac14=0$, więc nie ma rozwiązań rzeczywistych. Równania nie mają zatem wspólnego rozwiązania.

Punkt $(x,y)$ należy do wykresu, więc $y=x^2-5x+11$.

a) Warunek $y=x+2$ daje $(x-3)^2=0$, zatem punkt to $(3,5)$.

b) Warunek $y=x+11$ daje $x(x-6)=0$, zatem otrzymujemy punkty $(0,11)$ i $(6,17)$.

Rozpatrujemy równania odpowiadające obu znakom wyrażenia pod wartością bezwzględną.

a) $x^2-5=4$ lub $x^2-5=-4$. b) $9x^2-1=3$ lub $9x^2-1=-3$. c) Po podstawieniu $t=|x|\ge0$ mamy $t^2=4t$. d) Wartość bezwzględna jest zerem tylko wtedy, gdy $5x^2-10=0$.

Korzystamy z $x^2=|x|^2$ i w razie potrzeby rozpatrujemy znaki $x$.

a) $|x|(|x|-3)=0$. b) $|x|(2|x|+1)=0$. c) Dla $x\ge0$ otrzymujemy $2x(x-2)=0$, a dla $x<0$ równanie $2x(x-3)=0$ nie daje ujemnego rozwiązania. d) Dla $x\ge0$ mamy $2x(x-2)=0$, a dla $x<0$ mamy $2x(x+3)=0$.

We wszystkich podpunktach $x\ne0$.

a) Dla $x>0$ równanie ma postać $x^2+1=0$, a dla $x<0$ — $x^2-1=0$.

b) Dla $x>0$ mamy $x^2-1=0$, a dla $x<0$ — $x^2+1=0$.

c) Ponieważ $\frac{x^2}{|x|}=|x|$, dostajemy $|x|^2-2|x|=0$. Warunek $x\ne0$ pozostawia $|x|=2$.

Pierwiastki pierwszego równania to $0$ i $3$. Drugie równanie ma dla $m>0$ pierwiastki $-\sqrt m$ i $\sqrt m$. Naprzemienny porządek musi mieć postać $-\sqrt m<0<\sqrt m<3.$ Jest to równoważne $0<\sqrt m<3$, czyli $0<m<9$.