MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 326

Korzystamy z równoważności $A^2=B^2\iff A=B$ lub $A=-B$.

a) Dostajemy $4\sqrt5x-7=17-2\sqrt5x$ lub $4\sqrt5x-7=-17+2\sqrt5x$.

b) Dostajemy $x^2-x-1=x^2+5x+3$ lub $x^2-x-1=-x^2-5x-3$; drugie równanie upraszcza się do $(x+1)^2=0$.

Stosujemy różnicę kwadratów albo równoważność $A^2=B^2$.

a) $x+\frac14=\pm5$. b) $2x+1=\pm9$. c) $(x+0{,}1)^2=0{,}36$. d) $7x-2=\pm(2x-7)$. e) $(x-5)^2-[3(1-x)]^2=0$. f) $(x+2)^2-(6x)^2=0$.

Uzupełniamy kwadrat po przeniesieniu wyrazu wolnego.

a) $(x+1)^2=4$. b) $(x-3)^2=4$. c) $(2x-1)^2=4$. d) $(3x-1)^2=9$.

Równanie $ax^2+c=0$ jest równoważne $x^2=-\frac ca$. Ma dwa rozwiązania, gdy $a$ i $c$ mają przeciwne znaki, a nie ma rozwiązań, gdy mają ten sam znak.

Niech wstawiona liczba będzie równa $k$. Równanie ma postać $(x-3)^2=-k$.

a) Wybieramy $k=5$, wtedy prawa strona jest ujemna. b) Dla $k=0$ jest jeden pierwiastek. c) Dla $k=-1$ pierwiastki to $2$ i $4$. d) Dla $k=-2$ pierwiastki to $3\pm\sqrt2$. e) Podstawienie $x=0$ daje $k=-9$.

Mamy $2x^2+4x+k=2(x+1)^2+k-2$.

a) Dla $k=3$ minimum lewej strony jest dodatnie. b) Dla $k=2$ otrzymujemy jeden pierwiastek $-1$. c) Dla $k=-6$ równanie ma pierwiastki $-3$ i $1$. d) Dla $k=-5$ pierwiastki $-1\pm\frac{\sqrt{14}}2$ są niewymierne. e) Aby $x=0$ był pierwiastkiem, musi być $k=0$.