MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 324

Z kierunku ramion odczytujemy znak $a$, z punktu przecięcia z osią $OY$ — znak $c$. Ponadto odcięta wierzchołka to $-\frac{b}{2a}$.

a) Ramiona w dół, wierzchołek na prawo i przecięcie z $OY$ poniżej $OX$ dają $a<0$, $b>0$, $c<0$.

b) Ramiona w górę, wierzchołek na prawo i przecięcie z $OY$ powyżej $OX$ dają $a>0$, $b<0$, $c>0$.

c) Ramiona w górę, wierzchołek na lewo i $f(0)>0$ dają $a>0$, $b>0$, $c>0$.

Podane przedziały monotoniczności oznaczają, że odcięta wierzchołka wynosi $3$. Dla $f(x)=ax^2-3x+5$ jest ona równa $-\frac{-3}{2a}=\frac{3}{2a}.$ Z równania $\frac{3}{2a}=3$ otrzymujemy $a=\frac12$.

Parabola ma ramiona w dół i wierzchołek o odciętej $p=\frac{a+1}{2}$. Funkcja rośnie dla $x\le p$ i maleje dla $x\ge p$.

a) Cały przedział $(2;5)$ ma leżeć po lewej stronie wierzchołka, więc $p\ge5$. Stąd $a\ge9$.

b) Cały przedział $(-2;3)$ ma leżeć po prawej stronie wierzchołka, więc $p\le-2$. Stąd $a\le-5$.

Porównujemy podany przedział z odciętą wierzchołka.

a) Wierzchołek ma odciętą $1$; dla $x\ge1$ funkcja z ramionami w górę rośnie.

b) Wierzchołek ma odciętą $\frac34$; dla $x\ge2$ funkcja z ramionami w dół maleje.

c) Wierzchołek ma odciętą $-1$; na podanym przedziale funkcja rośnie.

d) Wierzchołek ma odciętą $-5$; na lewo od niego funkcja z ramionami w dół rośnie.

a) Wierzchołek funkcji $-x^2-x+3$ ma odciętą $-\frac12$. Parabola ma ramiona w dół, więc funkcja rośnie na $(-\infty;-\frac12\rangle$, a zatem także na $(-10;-1)$.

b) Wierzchołek funkcji $2x^2+3x-2$ ma odciętą $-\frac34$. Parabola ma ramiona w górę, więc funkcja maleje na $(-\infty;-\frac34\rangle$, a zatem także na $(-3;-2)$. Obie tezy zostały wykazane.

Kładziemy $u=x-1$, czyli $x=u+1$. Wtedy $f(u)=2(u+1)^2-3(u+1)+1=2u^2+u.$ Zatem $g(x)=f(x+1)=2(x+1)^2+x+1=2x^2+5x+3.$ Po uzupełnieniu kwadratu otrzymujemy $g(x)=2\left(x+\frac54\right)^2-\frac18.$

Funkcja wyjściowa ma postać $f(x)=-(x+1)^2+2$, więc jej wierzchołek to $(-1,2)$.

a) Przesunięcie o $[2,0]$: $g(x)=-(x-1)^2+2$.

b) Przesunięcie o $[0,1]$: $g(x)=-(x+1)^2+3$.

c) Przesunięcie o $[-1,-2]$: $g(x)=-(x+2)^2$.

d) Odbicie względem $OX$: $g(x)=(x+1)^2-2$.

e) Odbicie względem $OY$: $g(x)=-(x-1)^2+2$.

f) Odbicie względem obu osi: $g(x)=(x-1)^2-2$.

Mamy $f(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$.

a) $g(x)=x^2-2|x|-3$; prawa część wykresu $f$ zostaje odbita względem $OY$.

b) $g(x)=|x^2-2x-3|$; fragment wykresu pod osią $OX$, dla $-1<x<3$, odbijamy do góry.

c) $g(x)=|x^2-2|x|-3|$; najpierw wykonujemy odbicie jak w a), potem części ujemne odbijamy względem $OX$.

d) $g(x)=-|x^2-2|x|-3|$; wykres z c) odbijamy względem $OX$.